Divergenz

Erklärung

Die Divergenz macht aus einem Vektorfeld $\vec F$ ein Skalarfeld. Man kann sie sich als Skalarprodukt des Nabla-Operators $\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$ mit $\vec F$ vorstellen. In der Ebene entfällt der dritte Summand, im $\mathbb{R}^n$ kommen entsprechend mehr hinzu.

Anschaulich misst die Divergenz die Quelldichte einer Strömung:

• $\operatorname{div} \vec F > 0$: In der Umgebung fließt mehr heraus als hinein (Quelle).
• $\operatorname{div} \vec F < 0$: Es fließt mehr hinein als heraus (Senke).
• $\operatorname{div} \vec F = 0$ überall: Das Feld heißt quellenfrei, z.B. die Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit oder ein Magnetfeld.

Genauer ist die Divergenz der Grenzwert aus dem Fluss durch die Oberfläche eines kleinen Volumens, geteilt durch dieses Volumen, wenn das Volumen auf den Punkt zusammenschrumpft. Daraus entsteht der Satz von Gauß. Für jedes zweimal stetig differenzierbare Feld gilt außerdem $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \vec F) = 0$.

Beispiele

Für $\vec F = (x^2 y,\ yz,\ xz^2)^T$ ist

Im Punkt $(1, 2, 3)$ ergibt das $4 + 3 + 6 = 13$, dort liegt also eine Quelle.

Das radiale Feld $\vec F = (x, y, z)^T$ zeigt überall vom Ursprung weg und hat die konstante Divergenz $1 + 1 + 1 = 3$.

Das Wirbelfeld $\vec F = (-y,\ x,\ 0)^T$ kreist um die $z$-Achse. Es ist quellenfrei, denn $\frac{\partial(-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + 0 = 0$.

Typische Fehler

• Jede Komponente nach der falschen Variablen ableiten, z.B. $F_1$ nach $y$. Es gehören immer $F_1$ zu $x$, $F_2$ zu $y$ und $F_3$ zu $z$.
• Das Ergebnis als Vektor angeben. Die Divergenz ist eine Zahl bzw. ein Skalarfeld.
• Divergenz und Gradient verwechseln. Der Gradient wirkt auf ein Skalarfeld und liefert ein Vektorfeld, die Divergenz umgekehrt.