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Gradient

Gradient

Studium
∇f(x1,…,xn)=(∂f∂x1,…,∂f∂xn)T\nabla f(x_1, \ldots, x_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^{T}

Voraussetzung: f ⁣:D⊆Rn→Rf\colon D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} partiell differenzierbar

∇f\nabla f
Gradient von f, auch grad f geschrieben
ff
reellwertige Funktion von n Variablen
x1,…,xnx_1, \ldots, x_n
Variablen von f
∂f∂xk\frac{\partial f}{\partial x_k}
partielle Ableitung von f nach der k-ten Variablen

Der Gradient fasst alle partiellen Ableitungen zu einem Vektor zusammen, der in Richtung des steilsten Anstiegs zeigt.

Erklärung

Der Gradient ∇f\nabla f (gesprochen „Nabla f“) ordnet jedem Punkt den Vektor der partiellen Ableitungen zu. Er macht aus einer reellwertigen Funktion ein Vektorfeld.

Ist ff differenzierbar und ∇f≠0⃗\nabla f \neq \vec{0}, dann gilt:

  • ∇f\nabla f zeigt in die Richtung, in der ff am stärksten wächst.
  • ∣∇f∣|\nabla f| ist die Steigung in dieser Richtung.
  • ∇f\nabla f steht senkrecht auf der Höhenlinie (bei drei Variablen: Niveaufläche) durch den Punkt.

Diese Eigenschaften folgen aus der Richtungsableitung ∂v⃗f=∇f⋅v⃗\partial_{\vec v} f = \nabla f \cdot \vec v. Punkte mit ∇f=0⃗\nabla f = \vec{0} heißen kritische oder stationäre Punkte; dort können Extrema liegen.

Beispiele

Für f(x,y)=x2+3y2f(x, y) = x^2 + 3y^2 ist

∇f(x,y)=(2x6y),∇f(2,1)=(46)\nabla f(x, y) = \begin{pmatrix} 2x \\ 6y \end{pmatrix}, \qquad \nabla f(2, 1) = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}

Im Punkt (2,1)(2, 1) steigt ff also am stärksten in Richtung (4,6)(4, 6), und zwar mit der Steigung 42+62=213≈7,21\sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21.

Der Punkt liegt auf der Höhenlinie x2+3y2=7x^2 + 3y^2 = 7. Deren Tangentenrichtung (3,−2)(3, -2) steht senkrecht auf dem Gradienten: 4⋅3+6⋅(−2)=04 \cdot 3 + 6 \cdot (-2) = 0.

Für f(x,y,z)=xyzf(x, y, z) = xyz ist ∇f=(yz,xz,xy)T\nabla f = (yz, xz, xy)^T, im Punkt (1,2,3)(1, 2, 3) also (6,3,2)T(6, 3, 2)^T.

Typische Fehler

  • Den Gradienten als Zahl angeben. Er ist ein Vektor mit so vielen Komponenten, wie ff Variablen hat.
  • Annehmen, der Gradient zeige zum Maximum. Er zeigt nur lokal in die Richtung des steilsten Anstiegs.
  • ∇f\nabla f mit der Divergenz ∇⋅F⃗\nabla \cdot \vec F verwechseln. Der Gradient wirkt auf eine skalare Funktion und liefert einen Vektor.

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