Lagrange-Multiplikatoren

Studium

\nabla f(x_0, y_0) = \lambda\, \nabla g(x_0, y_0), \qquad g(x_0, y_0) = 0

Voraussetzung: $f, g$ $stetig$ $differenzierbar$ $,$ $\nabla g(x_0, y_0) \neq \vec{0}$

$f$: Zielfunktion, deren Extrema gesucht sind
$g$: Funktion der Nebenbedingung g = 0
$\lambda$: Lagrange-Multiplikator, eine zusätzliche Unbekannte
$(x_0, y_0)$: Kandidat für eine Extremstelle unter der Nebenbedingung

Unter einer Nebenbedingung g = 0 kann f nur dort extremal sein, wo die Gradienten von f und g parallel sind.

Erklärung

Gesucht sind die Extrema von $f(x, y)$ , wobei $(x, y)$ nicht frei ist, sondern eine Nebenbedingung $g(x, y) = 0$ erfüllen muss. In einem solchen Extremum berührt die Höhenlinie von $f$ die Kurve $g = 0$ . Dort sind die beiden Gradienten parallel, und es gibt eine Zahl $\lambda$ mit $\nabla f = \lambda \nabla g$ .

Man erhält ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen für die drei Unbekannten $x$ , $y$ und $\lambda$ :

f_x = \lambda g_x, \qquad f_y = \lambda g_y, \qquad g(x, y) = 0

Gleichwertig sucht man die kritischen Punkte der Lagrange-Funktion $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda\, g(x, y)$ . Bei $n$ Variablen und mehreren Nebenbedingungen bekommt jede Nebenbedingung ihren eigenen Multiplikator.

Die Methode liefert nur Kandidaten. Ist die Menge $g = 0$ beschränkt und abgeschlossen (z.B. ein Kreis), nimmt $f$ dort Maximum und Minimum an, und man vergleicht einfach die Funktionswerte der Kandidaten.

Beispiele

Gesucht sind die Extrema von $f(x, y) = x + 2y$ auf dem Kreis $x^2 + y^2 = 5$ , also mit $g(x, y) = x^2 + y^2 - 5$ :

1 = 2\lambda x, \qquad 2 = 2\lambda y, \qquad x^2 + y^2 = 5

Aus den ersten beiden Gleichungen folgt $y = 2x$ . Eingesetzt: $5x^2 = 5$ , also $x = \pm 1$ . Die Kandidaten sind $(1, 2)$ mit $\lambda = \frac{1}{2}$ und $(-1, -2)$ mit $\lambda = -\frac{1}{2}$ . Wegen $f(1, 2) = 5$ und $f(-1, -2) = -5$ liegt in $(1, 2)$ das Maximum und in $(-1, -2)$ das Minimum.

Welches Rechteck mit Umfang $20$ hat den größten Flächeninhalt? Mit $f = xy$ und $g = 2x + 2y - 20$ gilt $y = 2\lambda$ und $x = 2\lambda$ , also $x = y$ . Aus der Nebenbedingung folgt $x = y = 5$ mit $\lambda = \frac{5}{2}$ und dem Flächeninhalt $25$ .

Typische Fehler

Die Nebenbedingung $g = 0$ nicht ins Gleichungssystem aufnehmen. Ohne sie ist das System unterbestimmt.
Jeden Kandidaten für ein Extremum halten. Die Methode liefert nur notwendige Bedingungen; man vergleicht die Funktionswerte oder argumentiert anders.
Punkte mit $\nabla g = \vec 0$ übersehen. Dort greift die Methode nicht, sie müssen separat untersucht werden.
Beim Auflösen durch $\lambda$ oder eine Variable teilen, die null sein kann, und so Lösungen verlieren.

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