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Satz von Stokes

Satz von Stokes

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∬S(rot⁡F⃗)⋅n⃗ dS=∮∂SF⃗⋅dr⃗\iint_S (\operatorname{rot} \vec{F}) \cdot \vec{n}\, dS = \oint_{\partial S} \vec{F} \cdot d\vec{r}

Voraussetzung: SS orientierte Fläche,, ∂S\partial S nach Rechte-Hand-Regel,, F⃗∈C1{\vec{F} \in C^1}

SS
Fläche im Raum mit Rand
∂S\partial S
Randkurve der Fläche
F⃗\vec{F}
Vektorfeld
rot⁡F⃗\operatorname{rot} \vec{F}
Rotation des Vektorfelds
n⃗\vec{n}
Einheitsnormalenvektor der Fläche
dSdS
Flächenelement

Die Zirkulation eines Vektorfelds längs einer Randkurve ist gleich dem Fluss seiner Rotation durch die eingeschlossene Fläche.

Erklärung

Der Satz von Stokes verbindet ein Flächenintegral mit einem Kurvenintegral über den Rand der Fläche. Rechts steht die Zirkulation von F⃗\vec F längs der Randkurve, links der Fluss der Rotation durch die Fläche. Anschaulich: Die Summe der kleinen Wirbel auf der Fläche ergibt den Umlauf am Rand, weil sich die Beiträge im Inneren gegenseitig aufheben.

Genau gilt der Satz für eine orientierte, stückweise glatte Fläche SS mit stückweise glatter Randkurve ∂S\partial S und ein Feld F⃗\vec F, das auf einer Umgebung von SS stetig differenzierbar ist (F⃗∈C1\vec F \in C^1).

Die Orientierungen müssen zusammenpassen: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung n⃗\vec n, geben die gekrümmten Finger die Durchlaufrichtung von ∂S\partial S an. Bei einer Fläche in der xx-yy-Ebene mit n⃗=e⃗z\vec n = \vec e_z läuft der Rand also gegen den Uhrzeigersinn.

Das Ergebnis hängt nur von der Randkurve ab. Alle Flächen mit demselben Rand, z.B. eine Kreisscheibe und eine Halbkugel darüber, liefern denselben Wert, sofern F⃗\vec F auf allen diesen Flächen stetig differenzierbar ist. Folgerung: Ist rot⁡F⃗=0⃗\operatorname{rot} \vec F = \vec 0, ist die Zirkulation längs jeder Randkurve null.

Der ebene Sonderfall ist der Satz von Green:

∬D(∂F2∂x−∂F1∂y)dA=∮∂D(F1 dx+F2 dy)\iint_D \left( \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \right) dA = \oint_{\partial D} (F_1\, dx + F_2\, dy)

Beispiele

Für F⃗=(−y, x, 0)T\vec F = (-y,\ x,\ 0)^T und die Kreisscheibe mit Radius RR in der xx-yy-Ebene ist rot⁡F⃗=(0,0,2)T\operatorname{rot} \vec F = (0, 0, 2)^T und n⃗=(0,0,1)T\vec n = (0, 0, 1)^T:

∬S2 dS=2⋅πR2=2πR2\iint_S 2\, dS = 2 \cdot \pi R^2 = 2\pi R^2

Am Rand r⃗(t)=(Rcos⁡t, Rsin⁡t, 0)T\vec r(t) = (R\cos t,\ R\sin t,\ 0)^T ist F⃗⋅r⃗˙=R2sin⁡2t+R2cos⁡2t=R2\vec F \cdot \dot{\vec r} = R^2 \sin^2 t + R^2 \cos^2 t = R^2, also ∮F⃗⋅dr⃗=2πR2\oint \vec F \cdot d\vec r = 2\pi R^2. Für R=2R = 2 ergibt sich 8π≈25,138\pi \approx 25{,}13.

Mit dem Satz von Green lassen sich Flächeninhalte als Randintegrale berechnen: Für F⃗=12(−y,x)\vec F = \frac{1}{2}(-y, x) ist der Integrand links gleich 11. Für die Ellipse r⃗(t)=(acos⁡t, bsin⁡t)\vec r(t) = (a\cos t,\ b\sin t) ist xy˙−yx˙=abx \dot y - y \dot x = ab, also

A=12∮(x dy−y dx)=12⋅ab⋅2π=πabA = \frac{1}{2} \oint (x\, dy - y\, dx) = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot 2\pi = \pi ab

Typische Fehler

  • Die Randkurve gegen die Normale orientieren. Dann ändert sich das Vorzeichen.
  • Den Satz auf eine geschlossene Fläche ohne Rand anwenden. Dort gibt es keinen Rand, die rechte Seite ist null. Der Fluss von rot⁡F⃗\operatorname{rot} \vec F durch eine geschlossene Fläche verschwindet tatsächlich, das folgt aus dem Satz von Gauß und div⁡(rot⁡F⃗)=0\operatorname{div}(\operatorname{rot} \vec F) = 0.
  • Bei einer Singularität auf der Fläche rechnen, als wäre F⃗\vec F glatt. Für 1x2+y2(−y,x,0)\frac{1}{x^2 + y^2}(-y, x, 0) ist die Rotation außerhalb der zz-Achse null, die Zirkulation um die Achse aber 2π2\pi.

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