Integration in Polarkoordinaten

Studium

\iint_D f(x, y)\, dA = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\varphi,\, r\sin\varphi)\, r\, dr\, d\varphi

Voraussetzung: $D = \{(r\cos\varphi, r\sin\varphi) : r_1 \leq r \leq r_2,\ \varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2\},$ $0 \leq r_1,$ $\varphi_2 - \varphi_1 \leq 2\pi,$ $f$ $stetig$

$D$: Integrationsbereich, z.B. Kreisscheibe, Kreisring oder Sektor
$r$: Abstand vom Ursprung
$\varphi$: Winkel zur positiven x-Achse
$r\, dr\, d\varphi$: Flächenelement in Polarkoordinaten, der Faktor r ist die Jacobi-Determinante
$r_1, r_2,\ \varphi_1, \varphi_2$: Grenzen für Radius und Winkel

Über kreisförmige Bereiche integriert man in Polarkoordinaten; das Flächenelement dx dy wird dabei zu r dr dφ.

Erklärung

Ist der Integrationsbereich ein Kreis, ein Kreisring oder ein Sektor, oder hängt $f$ nur von $x^2 + y^2$ ab, rechnet man mit Polarkoordinaten $x = r \cos\varphi$ , $y = r \sin\varphi$ . Dann werden die Grenzen konstant, und der Integrand vereinfacht sich oft stark, weil $x^2 + y^2 = r^2$ .

Entscheidend ist der Faktor $r$ : Das Flächenelement ist $dA = r\, dr\, d\varphi$ . Anschaulich ist ein kleines Stück zwischen $r$ und $r + dr$ sowie $\varphi$ und $\varphi + d\varphi$ ungefähr ein Rechteck mit den Seiten $dr$ und $r\, d\varphi$ . Formal ist $r$ die Jacobi-Determinante der Polarkoordinaten-Abbildung (Transformationssatz).

Die Formel gilt auch, wenn die Grenzen für $r$ vom Winkel abhängen, also $r_1(\varphi) \leq r \leq r_2(\varphi)$ .

Beispiele

Der Flächeninhalt einer Kreisscheibe mit Radius $R$ :

\int_0^{2\pi} \int_0^R r\, dr\, d\varphi = 2\pi \cdot \frac{R^2}{2} = \pi R^2

Für $f(x, y) = x^2 + y^2$ über die Kreisscheibe mit Radius $2$ ist $f = r^2$ :

\int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 \cdot r\, dr\, d\varphi = 2\pi \cdot \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25{,}13

Die Gauß-Glocke $e^{-(x^2 + y^2)}$ über die Einheitskreisscheibe: Mit der Substitution $u = r^2$ wird $\int_0^1 e^{-r^2} r\, dr = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})$ , also

\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\, dA = \pi \left(1 - e^{-1}\right) \approx 1{,}9859

Lässt man den Radius gegen unendlich gehen, erhält man $\pi$ . Daraus folgt das bekannte Ergebnis $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}$ , die Grundlage für die Normierung der Normalverteilung.

Typische Fehler

Den Faktor $r$ vergessen. Ohne ihn ergibt sich für die Kreisfläche $2\pi R$ statt $\pi R^2$ .
Den Winkel falsch begrenzen, z.B. $0$ bis $\pi$ für einen vollen Kreis. Der volle Kreis braucht $0$ bis $2\pi$ , der Halbkreis über der $x$ -Achse $0$ bis $\pi$ .
Nur $x$ und $y$ ersetzen, aber $dx\, dy$ stehen lassen.

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