Transformationssatz

Studium

\int_{\Phi(U)} f(\vec{x})\, d\vec{x} = \int_U f\big(\Phi(\vec{u})\big)\, \big|\det J_\Phi(\vec{u})\big|\, d\vec{u}

Voraussetzung: $U \subseteq \mathbb{R}^n$ $offen$ $,$ $\Phi\colon U \to \Phi(U)$ $bijektiv, stetig$ $differenzierbar$ $,$ $\det J_\Phi \neq 0$ $auf$ $U,$ $f$ $integrierbar über$ $\Phi(U)$

$\Phi$: Transformation, die neue Koordinaten u auf alte Koordinaten x abbildet
$U$: Integrationsbereich in den neuen Koordinaten
$\Phi(U)$: Integrationsbereich in den ursprünglichen Koordinaten
$J_\Phi$: Jacobi-Matrix der Transformation
$f$: Integrand

Beim Koordinatenwechsel in Mehrfachintegralen kommt der Betrag der Jacobi-Determinante als Korrekturfaktor hinzu.

Erklärung

Der Transformationssatz ist die mehrdimensionale Substitutionsregel. Man ersetzt die Variablen $\vec x$ durch neue Variablen $\vec u$ mit $\vec x = \Phi(\vec u)$ und wählt $\Phi$ so, dass der Bereich oder der Integrand einfacher wird.

Das Volumenelement ändert sich dabei: Ein kleiner Würfel im $\vec u$ -Raum wird durch $\Phi$ auf ein kleines Parallelotop abgebildet, dessen Volumen um den Faktor $|\det J_\Phi|$ größer oder kleiner ist. Deshalb steht der Betrag der Jacobi-Determinante im Integral. Er ersetzt den Faktor $|\varphi'(t)|$ der eindimensionalen Regel.

Wichtige Sonderfälle:

Polarkoordinaten: $|\det J| = r$
Zylinderkoordinaten: $|\det J| = r$
Kugelkoordinaten: $|\det J| = r^2 \sin\theta$
Lineare Abbildung $\vec x = A \vec u$ : $|\det J| = |\det A|$

Mengen vom Volumen null (z.B. Randkurven oder die Achse bei Polarkoordinaten) dürfen ausgenommen werden; dort darf $\Phi$ die Voraussetzungen verletzen.

Beispiele

Die Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$ ist das Bild der Einheitskreisscheibe unter $x = au$ , $y = bv$ . Mit $\det J = ab$ :

A = \iint_{\text{Ellipse}} 1\, dx\, dy = \iint_{u^2 + v^2 \leq 1} ab\, du\, dv = \pi ab

Gesucht ist $\iint_D (x + y)^2\, dA$ über das gedrehte Quadrat $D$ mit $|x + y| \leq 1$ und $|x - y| \leq 1$ . Mit $u = x + y$ und $v = x - y$ ist $x = \frac{u + v}{2}$ und $y = \frac{u - v}{2}$ , also

J_\Phi = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \qquad |\det J_\Phi| = \frac{1}{2}

Der neue Bereich ist das Quadrat $[-1, 1]^2$ :

\iint_D (x + y)^2\, dA = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 u^2 \cdot \frac{1}{2}\, du\, dv = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

Typische Fehler

Den Betrag weglassen. Mit $\det J_\Phi = -\frac{1}{2}$ wäre das Ergebnis negativ, obwohl der Integrand nicht negativ ist.
Die Determinante der falschen Richtung verwenden. Hier hat $(x, y) \mapsto (u, v)$ die Determinante $-2$ ; gebraucht wird die der Abbildung $\vec u \mapsto \vec x$ , also $-\frac{1}{2}$ . Die Kehrwerte hängen zusammen: $\frac{1}{|-2|} = \frac{1}{2}$ .
Den Integranden umrechnen, die Grenzen aber nicht. Der Bereich muss vollständig in den neuen Koordinaten beschrieben werden.

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