Formelfritz
Meine Listen

Kurvenintegral

Kurvenintegral

Studium
∫CF⃗⋅dr⃗=∫abF⃗(r⃗(t))⋅r⃗˙(t) dt\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}\big(\vec{r}(t)\big) \cdot \dot{\vec{r}}(t)\, dt

Voraussetzung: r⃗ ⁣:[a,b]→Rn\vec{r}\colon [a, b] \to \mathbb{R}^n stückweise stetig differenzierbare Parametrisierung von C,C, F⃗\vec{F} stetig auf CC

CC
Kurve, entlang der integriert wird, mit einer Durchlaufrichtung
F⃗\vec{F}
Vektorfeld, z.B. ein Kraftfeld
r⃗(t)\vec{r}(t)
Parametrisierung der Kurve für t von a bis b
r⃗˙(t)\dot{\vec{r}}(t)
Tangentenvektor, die Ableitung der Parametrisierung nach t

Das Kurvenintegral summiert die Komponente eines Vektorfelds längs einer Kurve, physikalisch die verrichtete Arbeit.

Erklärung

Das Kurvenintegral (auch Linien- oder Wegintegral) eines Vektorfelds summiert längs einer Kurve den Anteil von F⃗\vec F, der in Laufrichtung zeigt. Ist F⃗\vec F eine Kraft, ist das Ergebnis die Arbeit, die beim Durchlaufen der Kurve verrichtet wird.

Zur Berechnung parametrisiert man die Kurve durch r⃗(t)\vec r(t), setzt r⃗(t)\vec r(t) in F⃗\vec F ein, bildet das Skalarprodukt mit r⃗˙(t)\dot{\vec r}(t) und integriert über tt. Das Ergebnis hängt nicht von der Wahl der Parametrisierung ab, wohl aber von der Richtung: Rückwärts durchlaufen ändert das Vorzeichen.

Ist F⃗=∇f\vec F = \nabla f ein Gradientenfeld mit stetig differenzierbarem Potential ff, hängt das Integral nur vom Anfangs- und Endpunkt ab:

∫C∇f⋅dr⃗=f(r⃗(b))−f(r⃗(a))\int_C \nabla f \cdot d\vec r = f\big(\vec r(b)\big) - f\big(\vec r(a)\big)

Insbesondere ist das Integral über jede geschlossene Kurve dann null. Davon zu unterscheiden ist das skalare Kurvenintegral ∫Cg ds=∫abg(r⃗(t)) ∣r⃗˙(t)∣ dt\int_C g\, ds = \int_a^b g\big(\vec r(t)\big)\, |\dot{\vec r}(t)|\, dt, z.B. für die Masse eines Drahts. Mit g=1g = 1 liefert es die Bogenlänge.

Beispiele

Für F⃗(x,y)=(−y, x)T\vec F(x, y) = (-y,\ x)^T längs des Einheitskreises r⃗(t)=(cos⁡t, sin⁡t)T\vec r(t) = (\cos t,\ \sin t)^T, 0≤t≤2π0 \leq t \leq 2\pi, gegen den Uhrzeigersinn:

∮CF⃗⋅dr⃗=∫02π(−sin⁡tcos⁡t)⋅(−sin⁡tcos⁡t)dt=∫02π1 dt=2π\oint_C \vec F \cdot d\vec r = \int_0^{2\pi} \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -\sin t \\ \cos t \end{pmatrix} dt = \int_0^{2\pi} 1\, dt = 2\pi

Weil das Integral über eine geschlossene Kurve nicht null ist, ist dieses Feld kein Gradientenfeld.

Das Feld F⃗=(2xy, x2)T\vec F = (2xy,\ x^2)^T ist der Gradient von f=x2yf = x^2 y. Längs der Strecke r⃗(t)=(t, 2t)T\vec r(t) = (t,\ 2t)^T von (0,0)(0, 0) nach (1,2)(1, 2) ist der Integrand 2t⋅2t⋅1+t2⋅2=6t22t \cdot 2t \cdot 1 + t^2 \cdot 2 = 6t^2, also

∫CF⃗⋅dr⃗=∫016t2 dt=2=f(1,2)−f(0,0)\int_C \vec F \cdot d\vec r = \int_0^1 6t^2\, dt = 2 = f(1, 2) - f(0, 0)

Längs der Parabel r⃗(t)=(t, 2t2)T\vec r(t) = (t,\ 2t^2)^T zwischen denselben Punkten ergibt sich mit dem Integranden 8t38t^3 ebenfalls 22.

Typische Fehler

  • r⃗˙(t)\dot{\vec r}(t) vergessen und nur F⃗(r⃗(t))\vec F(\vec r(t)) integrieren. Das Ergebnis ist dann ein Vektor statt einer Zahl.
  • Die Kurve nicht in F⃗\vec F einsetzen, sondern xx und yy stehen lassen.
  • Die Durchlaufrichtung ignorieren. Bei umgekehrter Richtung ändert sich das Vorzeichen.
  • Wegunabhängigkeit annehmen, ohne zu prüfen, ob F⃗\vec F ein Gradientenfeld ist.

Verwandte Formeln