Zylinderkoordinaten

Studium

x = r\cos\varphi, \quad y = r\sin\varphi, \quad z = z, \qquad dV = r\, dr\, d\varphi\, dz

Voraussetzung: $r \geq 0,$ $0 \leq \varphi < 2\pi,$ $z \in \mathbb{R}$

$r$: Abstand des Punkts von der z-Achse
$\varphi$: Winkel der Projektion in die x-y-Ebene zur positiven x-Achse
$z$: Höhe, wie in kartesischen Koordinaten
$x, y$: kartesische Koordinaten in der Grundebene
$dV$: Volumenelement für Dreifachintegrale

Zylinderkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Abstand zur z-Achse, Winkel und Höhe; das Volumenelement ist r dr dφ dz.

Erklärung

Zylinderkoordinaten sind Polarkoordinaten in der $x$ - $y$ -Ebene, ergänzt um die unveränderte Höhe $z$ . Sie passen zu allem, was um die $z$ -Achse rotationssymmetrisch ist: Zylinder, Kegel, Rotationsparaboloide, Rohre.

Die Rückrechnung lautet $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ und $z = z$ . Den Winkel $\varphi$ bestimmt man aus $\cos\varphi = \frac{x}{r}$ und $\sin\varphi = \frac{y}{r}$ ; $\arctan \frac{y}{x}$ allein reicht nicht, weil der Quadrant beachtet werden muss.

Für Dreifachintegrale gilt

\iiint_K f\, dV = \iiint f(r\cos\varphi,\, r\sin\varphi,\, z)\, r\, dr\, d\varphi\, dz

Der Faktor $r$ ist die Jacobi-Determinante der Abbildung $(r, \varphi, z) \mapsto (x, y, z)$ .

Beispiele

Der Punkt mit $r = 2$ , $\varphi = \frac{\pi}{3}$ und $z = 5$ hat die kartesischen Koordinaten

x = 2 \cos\frac{\pi}{3} = 1, \qquad y = 2 \sin\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, \qquad z = 5

Zur Kontrolle: $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 = r$ .

Das Volumen eines Zylinders mit Radius $R$ und Höhe $H$ :

V = \int_0^H \int_0^{2\pi} \int_0^R r\, dr\, d\varphi\, dz = \frac{R^2}{2} \cdot 2\pi \cdot H = \pi R^2 H

Der Körper zwischen dem Paraboloid $z = x^2 + y^2 = r^2$ und der Ebene $z = 4$ reicht bis $r = 2$ . Für festes $r$ läuft $z$ von $r^2$ bis $4$ :

V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2)\, r\, dr\, d\varphi = 2\pi \left( 8 - 4 \right) = 8\pi \approx 25{,}13

Typische Fehler

Den Faktor $r$ im Volumenelement vergessen.
$r$ in Zylinderkoordinaten mit dem Abstand zum Ursprung verwechseln. Hier ist $r$ der Abstand zur $z$ -Achse, der Abstand zum Ursprung ist $\sqrt{r^2 + z^2}$ .
Den Winkel mit $\arctan\frac{y}{x}$ berechnen, ohne den Quadranten zu prüfen. Für $(-1, -1)$ liefert das $\frac{\pi}{4}$ statt $\frac{5\pi}{4}$ .

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