Doppelintegral und Satz von Fubini

Studium

\iint_R f(x, y)\, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y)\, dy \right) dx = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y)\, dx \right) dy

Voraussetzung: $R = [a, b] \times [c, d],$ $f$ $stetig auf$ $R$

$R$: Rechteck, über das integriert wird
$f(x, y)$: Integrand, eine Funktion zweier Variablen
$dA$: Flächenelement, hier dA = dx dy
$a, b$: Grenzen in x-Richtung
$c, d$: Grenzen in y-Richtung

Ein Doppelintegral über ein Rechteck berechnet man als zwei einfache Integrale nacheinander, in beliebiger Reihenfolge.

Erklärung

Das Doppelintegral $\iint_R f\, dA$ summiert die Werte von $f$ über eine ebene Fläche $R$ . Für $f \geq 0$ ist es das Volumen des Körpers zwischen dem Rechteck $R$ und dem Graphen von $f$ . Mit $f = 1$ erhält man den Flächeninhalt von $R$ .

Der Satz von Fubini macht die Rechnung handlich: Man integriert zuerst nach einer Variablen und hält die andere dabei fest (inneres Integral), dann integriert man das Ergebnis nach der zweiten Variablen (äußeres Integral). Für stetiges $f$ auf einem Rechteck ist die Reihenfolge egal. Allgemeiner gilt das für jede Funktion, für die $\iint |f|\, dA$ endlich ist.

Bei einem Normalbereich hängen die inneren Grenzen von der äußeren Variablen ab:

\iint_D f\, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\, dy\, dx \quad \text{für } D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}

Vertauscht man dort die Reihenfolge, müssen die Grenzen neu aus einer Skizze bestimmt werden.

Beispiele

Für $f(x, y) = x^2 + xy$ über $R = [0, 1] \times [0, 2]$ ist das innere Integral $\int_0^2 (x^2 + xy)\, dy = 2x^2 + 2x$ und damit

\iint_R f\, dA = \int_0^1 (2x^2 + 2x)\, dx = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} \approx 1{,}67

In der anderen Reihenfolge: $\int_0^2 \left( \frac{1}{3} + \frac{y}{2} \right) dy = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$ .

Für $f(x, y) = xy$ über das Dreieck $D$ mit $0 \leq y \leq x \leq 1$ läuft $y$ innen von $0$ bis $x$ :

\int_0^1 \int_0^x xy\, dy\, dx = \int_0^1 \frac{x^3}{2}\, dx = \frac{1}{8}

Mit vertauschter Reihenfolge läuft $x$ von $y$ bis $1$ : $\int_0^1 \frac{y(1 - y^2)}{2}\, dy = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ .

Typische Fehler

Beim Vertauschen der Reihenfolge die Grenzen eines Normalbereichs unverändert übernehmen. Die inneren Grenzen dürfen nur von der äußeren Variablen abhängen.
Variable Grenzen außen und konstante innen verwenden, z.B. $\int_0^x \int_0^1 \ldots\, dy\, dx$ . Das äußere Integral muss feste Zahlen als Grenzen haben.
Beim inneren Integral die äußere Variable mit integrieren. Sie ist dort eine Konstante.

Doppelintegral und Satz von Fubini