Extremstellen bei zwei Variablen

Studium

D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2 \quad \begin{cases} D > 0,\ f_{xx} > 0: & \text{lokales Minimum} \\ D > 0,\ f_{xx} < 0: & \text{lokales Maximum} \\ D < 0: & \text{Sattelpunkt} \end{cases}

Voraussetzung: $f$ $zweimal stetig differenzierbar in einer Umgebung von$ $(x_0, y_0),$ $\nabla f(x_0, y_0) = \vec{0},$ $Ableitungen an der Stelle$ $(x_0, y_0)$

$D$: Determinante der Hesse-Matrix im kritischen Punkt
$f_{xx}, f_{yy}$: zweite partielle Ableitungen nach x bzw. nach y
$f_{xy}$: gemischte zweite partielle Ableitung
$(x_0, y_0)$: kritischer Punkt, an dem der Gradient null ist

In einem kritischen Punkt entscheidet die Determinante der Hesse-Matrix, ob ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt vorliegt.

Erklärung

Lokale Extremstellen einer differenzierbaren Funktion $f(x, y)$ findet man in zwei Schritten:

Notwendige Bedingung: Man löst $\nabla f = \vec 0$ , also $f_x = 0$ und $f_y = 0$ . Die Lösungen heißen kritische Punkte.
Hinreichende Bedingung: In jedem kritischen Punkt berechnet man $D = \det H_f = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ .

Bei $D > 0$ liegt ein Extremum vor, und das Vorzeichen von $f_{xx}$ entscheidet über Minimum oder Maximum. Bei $D < 0$ ist der Punkt ein Sattelpunkt: In einer Richtung steigt $f$ , in einer anderen fällt $f$ . Bei $D = 0$ ist keine Aussage möglich; dann muss man die Funktion in der Umgebung direkt untersuchen.

Das Verfahren findet nur lokale Extrema im Inneren des Definitionsbereichs. Globale Extrema auf einem beschränkten Bereich können auch auf dem Rand liegen; den untersucht man getrennt, z.B. mit Lagrange-Multiplikatoren.

Beispiele

Für $f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3$ ist $f_x = 3x^2 - 3y$ und $f_y = 3y^2 - 3x$ . Aus $f_x = 0$ folgt $y = x^2$ , eingesetzt in $f_y = 0$ ergibt sich $x^4 = x$ , also $x = 0$ oder $x = 1$ . Die kritischen Punkte sind $(0, 0)$ und $(1, 1)$ .

Mit $f_{xx} = 6x$ , $f_{yy} = 6y$ und $f_{xy} = -3$ ist $D = 36xy - 9$ :

In $(0, 0)$ ist $D = -9 < 0$ : Sattelpunkt.
In $(1, 1)$ ist $D = 27 > 0$ und $f_{xx} = 6 > 0$ : lokales Minimum mit $f(1, 1) = -1$ .

Für $f(x, y) = x^4 + y^4$ ist $(0, 0)$ kritischer Punkt mit $D = 0$ . Der Test versagt, obwohl dort offensichtlich ein Minimum liegt, denn $f \geq 0 = f(0, 0)$ .

Typische Fehler

Bei $D > 0$ das Vorzeichen von $f_{xx}$ nicht prüfen und Minimum und Maximum verwechseln.
Aus $D = 0$ schließen, dass kein Extremum vorliegt. Der Test macht dann gar keine Aussage.
Beim Lösen von $\nabla f = \vec 0$ Lösungen verlieren, z.B. durch Teilen durch $x$ , ohne den Fall $x = 0$ zu betrachten.
$f_{xy}^2$ in $D$ vergessen oder mit falschem Vorzeichen einsetzen.

Extremstellen bei zwei Variablen