Kettenregel für mehrere Variablen

Studium

\frac{d}{dt} f\big(x(t), y(t)\big) = \frac{\partial f}{\partial x}\, \dot{x}(t) + \frac{\partial f}{\partial y}\, \dot{y}(t)

Voraussetzung: $x, y$ $differenzierbar in$ $t,$ $f$ $(total) differenzierbar in$ $\big(x(t), y(t)\big)$

$f$: Funktion der zwei Variablen x und y
$x(t), y(t)$: innere Funktionen, z.B. die Koordinaten einer Kurve
$\dot{x}(t), \dot{y}(t)$: Ableitungen der inneren Funktionen nach t
$\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$: partielle Ableitungen von f, ausgewertet an der Stelle (x(t), y(t))

Die Ableitung von f entlang einer Kurve ist die Summe aus partiellen Ableitungen mal Ableitungen der inneren Funktionen.

Erklärung

Hängt $f$ von $x$ und $y$ ab und hängen diese wiederum von $t$ ab, dann wirkt eine Änderung von $t$ über beide Wege auf $f$ . Jeder Weg trägt „partielle Ableitung mal innere Ableitung“ bei, und die Beiträge werden addiert. Kurz: $\frac{d}{dt} f(\vec r(t)) = \nabla f(\vec r(t)) \cdot \dot{\vec r}(t)$ .

Hängen $x$ und $y$ von mehreren Variablen $u, v$ ab, gilt dieselbe Regel für jede partielle Ableitung:

\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}

Allgemein ist die Jacobi-Matrix der Verkettung das Produkt der Jacobi-Matrizen: $J_{f \circ g}(\vec u) = J_f\big(g(\vec u)\big) \cdot J_g(\vec u)$ .

Voraussetzung ist, dass $f$ total differenzierbar ist, z.B. weil die partiellen Ableitungen stetig sind. Partielle Differenzierbarkeit allein reicht nicht.

Beispiele

Für $f(x, y) = x^2 y$ entlang des Einheitskreises $x = \cos t$ , $y = \sin t$ ist $f_x = 2xy$ , $f_y = x^2$ , $\dot x = -\sin t$ und $\dot y = \cos t$ :

\frac{d}{dt} f = 2 \cos t \sin t \cdot (-\sin t) + \cos^2 t \cdot \cos t = \cos^3 t - 2 \cos t \sin^2 t

Für $t = \frac{\pi}{3}$ mit $\cos t = \frac{1}{2}$ und $\sin^2 t = \frac{3}{4}$ ergibt das $\frac{1}{8} - \frac{3}{4} = -\frac{5}{8}$ .

Für $f(x, y) = xy$ mit $x = u + v$ und $y = u - v$ ist

\frac{\partial f}{\partial u} = y \cdot 1 + x \cdot 1 = (u - v) + (u + v) = 2u

Zur Kontrolle: $f = (u + v)(u - v) = u^2 - v^2$ , also $\frac{\partial f}{\partial u} = 2u$ .

Typische Fehler

Nur einen Weg berücksichtigen und z.B. $\frac{\partial f}{\partial x} \dot x$ allein als Ableitung angeben.
Die partiellen Ableitungen von $f$ an der Stelle $(x, y)$ stehen lassen, statt $x(t)$ und $y(t)$ einzusetzen. Das Ergebnis muss eine Funktion von $t$ sein.
Bei der Matrixform die Reihenfolge vertauschen. $J_g \cdot J_f$ passt in der Regel nicht einmal von den Formaten her.

Kettenregel für mehrere Variablen