Kugelkoordinaten

Studium

x = r\sin\theta\cos\varphi, \quad y = r\sin\theta\sin\varphi, \quad z = r\cos\theta, \qquad dV = r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi

Voraussetzung: $r \geq 0,$ $0 \leq \theta \leq \pi,$ $0 \leq \varphi < 2\pi$

$r$: Abstand des Punkts vom Ursprung
$\theta$: Polarwinkel, gemessen von der positiven z-Achse
$\varphi$: Azimutwinkel in der x-y-Ebene, gemessen von der positiven x-Achse
$x, y, z$: kartesische Koordinaten
$dV$: Volumenelement für Dreifachintegrale

Kugelkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Abstand zum Ursprung und zwei Winkel; das Volumenelement ist r² sin θ dr dθ dφ.

Erklärung

Kugelkoordinaten beschreiben einen Punkt im Raum durch seinen Abstand $r$ vom Ursprung und zwei Winkel. Der Polarwinkel $\theta$ wird von der positiven $z$ -Achse aus gemessen ( $\theta = 0$ am Nordpol, $\theta = \pi$ am Südpol), der Azimutwinkel $\varphi$ wie bei Polarkoordinaten in der $x$ - $y$ -Ebene. Sie passen zu allem, was um den Ursprung kugelsymmetrisch ist.

Die Rückrechnung: $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ und $\cos\theta = \frac{z}{r}$ ; $\varphi$ bestimmt man wie bei Polarkoordinaten aus $x$ und $y$ .

Das Volumenelement $r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi$ ist der Betrag der Jacobi-Determinante. Anschaulich ist ein kleines Volumenstück ein Quader mit den Kanten $dr$ , $r\, d\theta$ und $r \sin\theta\, d\varphi$ .

Die Bezeichnungen sind nicht einheitlich. In Teilen der Mathematik heißt der Polarwinkel $\varphi$ und der Azimut $\theta$ , in der Geografie misst man die Breite vom Äquator aus. Dann ändern sich die Formeln, z.B. wird $\sin\theta$ zu $\cos$ der Breite.

Beispiele

Der Punkt mit $r = 2$ , $\theta = \frac{\pi}{3}$ und $\varphi = \frac{\pi}{4}$ :

x = y = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}2247, \qquad z = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

Das Volumen einer Kugel mit Radius $R$ , mit $\int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 2$ :

V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi = \frac{R^3}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4}{3}\pi R^3

Für $f = x^2 + y^2 + z^2 = r^2$ über die Einheitskugel ergibt sich $\int_0^1 r^4\, dr \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{5} \approx 2{,}5133$ .

Typische Fehler

Den Faktor $r^2 \sin\theta$ vergessen oder nur $r$ verwenden wie bei Zylinderkoordinaten.
$\theta$ von $0$ bis $2\pi$ laufen lassen. Dann wird jeder Punkt doppelt erfasst; der Polarwinkel läuft nur von $0$ bis $\pi$ .
Formeln aus Quellen mit anderer Winkelkonvention mischen, z.B. $z = r \sin\theta$ mit $dV = r^2 \sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi$ .

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