Tangentialebene

Studium

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0)

Voraussetzung: $f$ $in$ $(x_0, y_0)$ $(total) differenzierbar$

$z$: Höhe der Tangentialebene über dem Punkt (x, y)
$(x_0, y_0)$: Berührpunkt in der x-y-Ebene
$f(x_0, y_0)$: Funktionswert im Berührpunkt
$f_x, f_y$: partielle Ableitungen von f nach x bzw. y

Die Tangentialebene berührt den Graphen von f(x, y) in einem Punkt und hat dort dieselben Steigungen in x- und y-Richtung.

Erklärung

Der Graph einer Funktion $f(x, y)$ ist eine Fläche im Raum. Ist $f$ im Punkt $(x_0, y_0)$ differenzierbar, gibt es dort genau eine Ebene, die sich an die Fläche anschmiegt: die Tangentialebene. Sie ist das zweidimensionale Gegenstück zur Tangente und liefert die Linearisierung von $f$ nahe $(x_0, y_0)$ .

Die Ebene geht durch den Punkt $\big(x_0, y_0, f(x_0, y_0)\big)$ und hat in $x$ -Richtung die Steigung $f_x$ , in $y$ -Richtung die Steigung $f_y$ . Ein Normalenvektor ist

\vec n = \begin{pmatrix} f_x(x_0, y_0) \\ f_y(x_0, y_0) \\ -1 \end{pmatrix}

Ist die Fläche nicht als Graph, sondern als Niveaufläche $F(x, y, z) = c$ gegeben, ist $\nabla F(\vec p)$ ein Normalenvektor, und die Tangentialebene lautet $\nabla F(\vec p) \cdot (\vec x - \vec p) = 0$ (vorausgesetzt $\nabla F(\vec p) \neq \vec 0$ ).

Beispiele

Für $f(x, y) = x^2 + y^2$ im Punkt $(1, 2)$ ist $f(1, 2) = 5$ , $f_x = 2x = 2$ und $f_y = 2y = 4$ :

z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5

Als Näherung an der Stelle $(1{,}1;\ 1{,}9)$ liefert die Ebene $2{,}2 + 7{,}6 - 5 = 4{,}8$ , der exakte Wert ist $1{,}1^2 + 1{,}9^2 = 4{,}82$ . Ein Normalenvektor ist $(2, 4, -1)^T$ .

Die Kugel $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ enthält den Punkt $(1, 2, 2)$ . Mit $\nabla F = (2x, 2y, 2z)^T = (2, 4, 4)^T$ ergibt sich die Tangentialebene $2x + 4y + 4z = 18$ .

Typische Fehler

Die partiellen Ableitungen allgemein stehen lassen, statt sie im Berührpunkt auszuwerten. Die Gleichung einer Ebene darf nur linear in $x$ und $y$ sein.
Den Funktionswert $f(x_0, y_0)$ vergessen. Dann geht die Ebene nicht durch den Berührpunkt.
Beim Normalenvektor die dritte Komponente $-1$ weglassen oder $(f_x, f_y)$ als Normalenvektor im Raum ansehen.
Eine Tangentialebene angeben, obwohl $f$ nur partiell differenzierbar ist. Ohne totale Differenzierbarkeit schmiegt sich die Ebene nicht unbedingt an.

Tangentialebene