Totales Differential

Studium

df = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_k}\, dx_k

Voraussetzung: $f$ $(total) differenzierbar, z.B. stetig partiell differenzierbar$

$df$: totales Differential, näherungsweise Änderung des Funktionswerts
$\frac{\partial f}{\partial x_k}$: partielle Ableitung von f nach der k-ten Variablen an der betrachteten Stelle
$dx_k$: kleine Änderung der k-ten Variablen
$n$: Anzahl der Variablen

Das totale Differential schätzt die Änderung von f ab, wenn sich alle Variablen gleichzeitig ein wenig ändern.

Erklärung

Ändert man alle Variablen gleichzeitig um kleine Beträge $dx_1, \ldots, dx_n$ , ändert sich $f$ näherungsweise um $df$ . Jede partielle Ableitung gibt an, wie stark ihre Variable durchschlägt; die Beiträge werden addiert. Für zwei Variablen lautet die Formel $df = f_x\,dx + f_y\,dy$ .

Geometrisch ersetzt man den Graphen durch die Tangentialebene: $df$ ist die Änderung auf der Ebene, die tatsächliche Änderung $\Delta f$ weicht davon nur um einen Term ab, der schneller als die Schrittweite gegen null geht.

Eine wichtige Anwendung ist die Fehlerrechnung. Sind Messgrößen mit Fehlern $\Delta x_k$ behaftet, schätzt man den maximalen Fehler des Ergebnisses ab durch

|\Delta f| \lesssim \sum_{k=1}^{n} \left| \frac{\partial f}{\partial x_k} \right| |\Delta x_k|

Beispiele

Ein Zylinder hat den Radius $r = 5\,\text{cm}$ und die Höhe $h = 10\,\text{cm}$ , also $V = \pi r^2 h = 250\pi\,\text{cm}^3$ . Wie ändert sich das Volumen, wenn $r$ um $0{,}1\,\text{cm}$ und $h$ um $0{,}2\,\text{cm}$ wächst?

dV = 2\pi r h\,dr + \pi r^2\,dh = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 \cdot 0{,}1 + \pi \cdot 25 \cdot 0{,}2 = 15\pi \approx 47{,}12\,\text{cm}^3

Exakt ist $\Delta V = \pi \cdot 5{,}1^2 \cdot 10{,}2 - 250\pi = 15{,}302\pi \approx 48{,}07\,\text{cm}^3$ . Die Näherung liegt also nah am exakten Wert.

Als relativer Fehler: $\frac{dV}{V} = \frac{15\pi}{250\pi} = 0{,}06 = 6\,\%$ . Das entspricht $2 \cdot \frac{dr}{r} + \frac{dh}{h} = 2 \cdot 2\,\% + 2\,\%$ : Der Radius geht wegen des Quadrats doppelt ein.

Typische Fehler

Bei der Fehlerabschätzung Beträge vergessen. Fehler mit verschiedenen Vorzeichen heben sich sonst scheinbar auf, und der maximale Fehler wird unterschätzt.
$df$ für große Änderungen verwenden. Die Näherung gilt nur für kleine $dx_k$ .
Die partiellen Ableitungen an der falschen Stelle auswerten. Sie gehören zum Ausgangspunkt, hier $r = 5$ und $h = 10$ .

Totales Differential