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Hesse-Matrix

Hesse-Matrix

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Hf(x,y)=(fxx(x,y)fxy(x,y)fyx(x,y)fyy(x,y))H_f(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{yx}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{pmatrix}

Voraussetzung: ff zweimal partiell differenzierbar; ist ff zweimal stetig differenzierbar, gilt fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}

HfH_f
Hesse-Matrix der Funktion f
fxx,fyyf_{xx}, f_{yy}
zweite partielle Ableitungen nach x bzw. nach y
fxy,fyxf_{xy}, f_{yx}
gemischte zweite partielle Ableitungen (erst nach x, dann nach y bzw. umgekehrt)

Die Hesse-Matrix enthält alle zweiten partiellen Ableitungen und beschreibt die Krümmung einer Funktion mehrerer Variablen.

Erklärung

Die Hesse-Matrix sammelt alle zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion. Bei nn Variablen ist sie die n×nn \times n-Matrix mit den Einträgen ∂2f∂xi ∂xj\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}. Sie spielt für Funktionen mehrerer Variablen die Rolle der zweiten Ableitung f′′f''.

Ist ff zweimal stetig differenzierbar, sind die gemischten Ableitungen nach dem Satz von Schwarz gleich, und die Hesse-Matrix ist symmetrisch.

Sie taucht in der Taylor-Näherung zweiter Ordnung auf:

f(a⃗+h⃗)≈f(a⃗)+∇f(a⃗)⋅h⃗+12 h⃗THf(a⃗) h⃗f(\vec a + \vec h) \approx f(\vec a) + \nabla f(\vec a) \cdot \vec h + \tfrac{1}{2}\, \vec h^{T} H_f(\vec a)\, \vec h

Daraus folgt ihre Hauptanwendung: In einem kritischen Punkt (∇f=0⃗\nabla f = \vec 0) entscheidet die Definitheit der Hesse-Matrix über die Art der Stelle. Positiv definit (alle Eigenwerte positiv) bedeutet lokales Minimum, negativ definit lokales Maximum, indefinit Sattelpunkt.

Beispiele

Für f(x,y)=x3+2xy2−yf(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y ist fx=3x2+2y2f_x = 3x^2 + 2y^2 und fy=4xy−1f_y = 4xy - 1. Daraus:

Hf(x,y)=(6x4y4y4x),Hf(1,1)=(6444)H_f(x, y) = \begin{pmatrix} 6x & 4y \\ 4y & 4x \end{pmatrix}, \qquad H_f(1, 1) = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

Bei einer 2×22 \times 2-Matrix reicht für positive Definitheit: Der Eintrag links oben ist positiv und die Determinante ist positiv. Hier ist 6>06 > 0 und det⁡Hf(1,1)=6⋅4−42=8>0\det H_f(1, 1) = 6 \cdot 4 - 4^2 = 8 > 0, die Matrix ist also positiv definit. Die Eigenwerte 5±175 \pm \sqrt{17}, also etwa 0,880{,}88 und 9,129{,}12, sind beide positiv.

Der Punkt (1,1)(1, 1) ist allerdings kein kritischer Punkt, weil fx(1,1)=5≠0f_x(1, 1) = 5 \neq 0. Die Hesse-Matrix sagt dort nur, dass der Graph wie eine nach oben geöffnete Schale gekrümmt ist.

Typische Fehler

  • Die Hesse-Matrix mit der Jacobi-Matrix verwechseln. Die Jacobi-Matrix enthält erste Ableitungen, die Hesse-Matrix zweite.
  • Die Definitheit an einem Punkt prüfen, der nicht kritisch ist, und daraus ein Extremum folgern. Zuerst muss ∇f=0⃗\nabla f = \vec 0 gelten.
  • Nur die Diagonale anschauen. Positive Diagonaleinträge allein reichen nicht, z.B. ist (1221)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} mit Determinante −3-3 indefinit.

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