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Rotation

Rotation

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rot⁡F⃗=∇×F⃗=(∂F3∂y−∂F2∂z∂F1∂z−∂F3∂x∂F2∂x−∂F1∂y)\operatorname{rot} \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x} \\[4pt] \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} \end{pmatrix}

Voraussetzung: F⃗=(F1,F2,F3)T\vec{F} = (F_1, F_2, F_3)^{T} partiell differenzierbares Vektorfeld auf D⊆R3D \subseteq \mathbb{R}^3

F⃗\vec{F}
Vektorfeld im Raum
F1,F2,F3F_1, F_2, F_3
Komponenten des Vektorfelds in x-, y- und z-Richtung
∇×F⃗\nabla \times \vec{F}
Rotation als formales Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit F

Die Rotation eines Vektorfelds ist ein Vektorfeld, das Achse und Stärke der lokalen Wirbel angibt.

Erklärung

Die Rotation eines Vektorfelds F⃗\vec F im R3\mathbb{R}^3 ist wieder ein Vektorfeld. Man merkt sie sich als formales Kreuzprodukt ∇×F⃗\nabla \times \vec F, also wie die Determinante

rot⁡F⃗=det⁡(e⃗xe⃗ye⃗z∂∂x∂∂y∂∂zF1F2F3)\operatorname{rot} \vec F = \det \begin{pmatrix} \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{pmatrix}

Anschaulich beschreibt sie die Wirbeldichte: Ein kleines Schaufelrad in einer Strömung dreht sich um die Achse rot⁡F⃗\operatorname{rot} \vec F, und zwar am schnellsten, wenn es in diese Richtung ausgerichtet ist.

Ein Feld mit rot⁡F⃗=0⃗\operatorname{rot} \vec F = \vec 0 heißt wirbelfrei. Jedes Gradientenfeld ist wirbelfrei: rot⁡(∇f)=0⃗\operatorname{rot}(\nabla f) = \vec 0 für zweimal stetig differenzierbares ff. Auf einfach zusammenhängenden Gebieten gilt auch die Umkehrung, dann besitzt F⃗\vec F ein Potential. Für ebene Felder (F1,F2)(F_1, F_2) betrachtet man nur die dritte Komponente ∂F2∂x−∂F1∂y\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}.

Beispiele

Für F⃗=(xy, yz, zx)T\vec F = (xy,\ yz,\ zx)^T:

rot⁡F⃗=(0−y0−z0−x)=(−y−z−x)\operatorname{rot} \vec F = \begin{pmatrix} 0 - y \\ 0 - z \\ 0 - x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -z \\ -x \end{pmatrix}

Im Punkt (1,2,3)(1, 2, 3) ist rot⁡F⃗=(−2,−3,−1)T\operatorname{rot} \vec F = (-2, -3, -1)^T. Zur Kontrolle: Die Divergenz von (−y,−z,−x)(-y, -z, -x) ist 0+0+0=00 + 0 + 0 = 0, wie es für jede Rotation sein muss.

Das Wirbelfeld F⃗=(−y, x, 0)T\vec F = (-y,\ x,\ 0)^T kreist gegen den Uhrzeigersinn um die zz-Achse. Seine Rotation ist (0, 0, 1−(−1))T=(0,0,2)T\left(0,\ 0,\ 1 - (-1)\right)^T = (0, 0, 2)^T, also überall gleich: Jedes kleine Schaufelrad dreht sich gleich schnell um die zz-Richtung.

Typische Fehler

  • Vorzeichen in der zweiten Komponente vertauschen. Es heißt ∂F1∂z−∂F3∂x\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}, die Reihenfolge folgt dem Muster des Kreuzprodukts.
  • Rotation und Divergenz verwechseln. Die Rotation ist ein Vektor, die Divergenz eine Zahl.
  • Aus rot⁡F⃗=0⃗\operatorname{rot} \vec F = \vec 0 auf ein Potential schließen, obwohl das Gebiet Löcher hat. Das Feld 1x2+y2(−y,x,0)\frac{1}{x^2 + y^2}(-y, x, 0) ist außerhalb der zz-Achse wirbelfrei, hat dort aber kein Potential.

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