Differentialgleichungen

Bernoulli-DGL

Studium

y' + a(x)\,y = b(x)\,y^n \;\xrightarrow{\;z \,=\, y^{1-n}\;}\; z' + (1-n)\,a(x)\,z = (1-n)\,b(x)

Voraussetzung: $n \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\},$ $y > 0$

$y$: gesuchte Funktion y(x)
$y'$: Ableitung von y nach x
$a(x), b(x)$: stetige Koeffizientenfunktionen
$n$: Exponent der Nichtlinearität
$z$: neue Funktion z = y^(1−n), erfüllt eine lineare DGL
$z'$: Ableitung von z nach x

Die Substitution z = y^(1−n) macht aus der nichtlinearen Bernoulli-DGL eine lineare DGL erster Ordnung für z.

Charakteristische Gleichung

Studium

y'' + a\,y' + b\,y = 0 \;\Rightarrow\; \lambda^2 + a\lambda + b = 0

Voraussetzung: $a, b \in \mathbb{R}$ $konstant$

$y$: gesuchte Funktion y(x)
$y', y''$: erste und zweite Ableitung von y
$a, b$: konstante Koeffizienten der Differentialgleichung
$\lambda$: Unbekannte der charakteristischen Gleichung; jede Lösung liefert eine Lösung e^(λx)

Der Ansatz y = e^(λx) macht aus einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten eine Polynomgleichung für λ.

DGL des exponentiellen Wachstums

Oberstufe

f'(t) = k \cdot f(t) \;\Rightarrow\; f(t) = f(0) \cdot e^{kt}

$f(t)$: Bestand zum Zeitpunkt t
$f'(t)$: momentane Änderungsrate des Bestands
$f(0)$: Anfangsbestand zum Zeitpunkt 0
$k$: Wachstumskonstante; k > 0 Wachstum, k < 0 Abnahme
$t$: Zeit
$e$: Eulersche Zahl, e ≈ 2,71828

Ist die Änderungsrate proportional zum Bestand, wächst oder schrumpft der Bestand exponentiell mit f(0) · e^(kt).

Gedämpfter Oszillator

Studium

\ddot{x} + 2\delta\,\dot{x} + \omega_0^2\,x = 0 \;\Rightarrow\; x(t) = e^{-\delta t} \bigl( A\cos(\omega_d t) + B\sin(\omega_d t) \bigr)

Voraussetzung: $0 < \delta < \omega_0,$ $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$

$x(t)$: Auslenkung aus der Ruhelage zur Zeit t
$\dot{x}, \ddot{x}$: erste und zweite Ableitung von x nach der Zeit
$\delta$: Abklingkonstante, beim Federpendel δ = b/(2m) mit Reibungskoeffizient b
$\omega_0$: Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems
$\omega_d$: Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
$A, B$: Konstanten aus den Anfangswerten, A = x(0)
$t$: Zeit

Bei schwacher Dämpfung schwingt das System mit ω_d = √(ω₀² − δ²), und die Amplitude klingt wie e^(−δt) ab.

Harmonischer Oszillator

Studium

\ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0 \;\Rightarrow\; x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)

Voraussetzung: $\omega_0 > 0$

$x(t)$: Auslenkung aus der Ruhelage zur Zeit t
$\ddot{x}$: zweite Ableitung von x nach der Zeit (Beschleunigung)
$\omega_0$: Eigenkreisfrequenz, beim Federpendel ω₀ = √(k/m)
$A$: Anfangsauslenkung x(0)
$B$: Anfangsgeschwindigkeit geteilt durch ω₀, also v(0)/ω₀
$t$: Zeit

Ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung, schwingt das System sinusförmig mit der Eigenkreisfrequenz ω₀.

Laplace-Transformation

Studium

F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt

Voraussetzung: $|f(t)| \leq M e^{\sigma t}$ $für alle$ $t \geq 0,$ $s > \sigma$

$f(t)$: Originalfunktion, definiert für t ≥ 0
$F(s)$: Bildfunktion (Laplace-Transformierte)
$\mathcal{L}$: Laplace-Operator, der f die Funktion F zuordnet
$s$: Variable im Bildbereich (reell oder komplex mit Re s > σ)
$t$: Zeitvariable im Originalbereich
$M, \sigma$: Konstanten, mit denen f höchstens exponentiell wächst

Die Laplace-Transformation ordnet einer Funktion f(t) das Integral von f(t) · e^(−st) über t von 0 bis ∞ zu.

Laplace-Transformation der Ableitung

Studium

\mathcal{L}\{f'\} = s\,F(s) - f(0), \qquad \mathcal{L}\{f''\} = s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0)

Voraussetzung: $f$ $stetig$ $,$ $f, f'$ $höchstens exponentiell$ $wachsend$ $,$ $s > \sigma;$ $für$ $f''$ $zusätzlich$ $f'$ $stetig und$ $f''$ $höchstens exponentiell wachsend$

$f$: Originalfunktion, auf t ≥ 0 differenzierbar
$f', f''$: erste und zweite Ableitung von f
$F(s)$: Laplace-Transformierte von f
$f(0)$: Anfangswert von f
$f'(0)$: Anfangswert der Ableitung
$s$: Variable im Bildbereich
$\mathcal{L}$: Laplace-Transformation

Ableiten im Zeitbereich wird zur Multiplikation mit s; die Anfangswerte stehen direkt in der Formel.

Lineare DGL 2. Ordnung: doppelte Lösung

Studium

y(x) = (C_1 + C_2\,x)\,e^{\lambda x}

Voraussetzung: $y'' + a\,y' + b\,y = 0,$ $a^2 = 4b,$ $\lambda = -\tfrac{a}{2}$

$y(x)$: allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
$\lambda$: doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung λ² + aλ + b = 0
$C_1, C_2$: frei wählbare Konstanten, bestimmt durch zwei Anfangs- oder Randbedingungen
$x$: unabhängige Variable

Hat die charakteristische Gleichung eine doppelte Lösung λ, kommt zur Lösung e^(λx) noch x · e^(λx) hinzu.

Lineare DGL 2. Ordnung: komplexe Lösungen

Studium

y(x) = e^{\alpha x} \bigl( C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x) \bigr)

Voraussetzung: $y'' + a\,y' + b\,y = 0,$ $a^2 < 4b,$ $\alpha = -\tfrac{a}{2},$ $\omega = \sqrt{b - \tfrac{a^2}{4}}$

$y(x)$: allgemeine reelle Lösung der homogenen Gleichung
$\alpha$: Realteil der Lösungen λ = α ± iω der charakteristischen Gleichung
$\omega$: Imaginärteil (positiv), bestimmt die Kreisfrequenz der Schwingung
$C_1, C_2$: reelle Konstanten, bestimmt durch zwei Anfangs- oder Randbedingungen
$x$: unabhängige Variable

Hat die charakteristische Gleichung komplexe Lösungen α ± iω, schwingt die Lösung mit ω und der Hüllkurve e^(αx).

Lineare DGL 2. Ordnung: zwei reelle Lösungen

Studium

y(x) = C_1\,e^{\lambda_1 x} + C_2\,e^{\lambda_2 x}

Voraussetzung: $y'' + a\,y' + b\,y = 0,$ $a^2 > 4b,$ $\lambda_{1,2} = -\tfrac{a}{2} \pm \sqrt{\tfrac{a^2}{4} - b}$

$y(x)$: allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
$\lambda_1, \lambda_2$: die zwei verschiedenen reellen Lösungen der charakteristischen Gleichung λ² + aλ + b = 0
$C_1, C_2$: frei wählbare Konstanten, bestimmt durch zwei Anfangs- oder Randbedingungen
$x$: unabhängige Variable

Hat die charakteristische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen, ist die Lösung eine Summe zweier e-Funktionen.

Lineare DGL erster Ordnung

Studium

y' + a(x)\,y = b(x) \;\Rightarrow\; y(x) = e^{-A(x)} \left( \int b(x)\,e^{A(x)}\,dx + C \right)

Voraussetzung: $a, b$ $stetig$ $,$ $A'(x) = a(x)$

$y$: gesuchte Funktion y(x)
$y'$: Ableitung von y nach x
$a(x)$: Koeffizient vor y
$b(x)$: Störfunktion (Inhomogenität); bei b = 0 heißt die DGL homogen
$A(x)$: eine Stammfunktion von a(x)
$C$: Integrationskonstante, wird aus einem Anfangswert bestimmt

Die Lösung von y′ + a(x)·y = b(x) erhält man mit dem integrierenden Faktor e^A(x), wobei A eine Stammfunktion von a ist.

Trennung der Variablen

Studium

y' = f(x)\,g(y) \;\Rightarrow\; \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C

Voraussetzung: $f, g$ $stetig$ $,$ $g(y) \neq 0$

$y$: gesuchte Funktion y(x)
$y'$: Ableitung von y nach x
$x$: unabhängige Variable
$f(x)$: Faktor, der nur von x abhängt
$g(y)$: Faktor, der nur von y abhängt
$C$: Integrationskonstante, wird z.B. aus einem Anfangswert bestimmt

Lässt sich y′ als f(x) · g(y) schreiben, bringt man alles mit y auf eine Seite und integriert beide Seiten.

Variation der Konstanten

Studium

y_p(x) = C(x)\,e^{-A(x)}, \qquad C'(x) = b(x)\,e^{A(x)}

Voraussetzung: $y' + a(x)\,y = b(x),$ $A'(x) = a(x)$

$y_p$: partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Gleichung
$C(x)$: Funktion, die an die Stelle der Konstanten C der homogenen Lösung tritt
$A(x)$: eine Stammfunktion von a(x)
$a(x)$: Koeffizient vor y in der Normalform y′ + a(x)·y = b(x)
$b(x)$: Störfunktion (Inhomogenität)

Man ersetzt die Konstante der homogenen Lösung durch eine Funktion C(x) und erhält so eine Lösung der inhomogenen Gleichung.

Wichtige Laplace-Transformierte

Studium

\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}, \quad \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \quad \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}_0,$ $s > 0,$ $s > a,$ $\omega \in \mathbb{R}$

$\mathcal{L}$: Laplace-Transformation
$s$: Variable im Bildbereich
$t$: Zeitvariable, t ≥ 0
$n$: Exponent der Potenz, natürliche Zahl einschließlich 0
$a$: reelle Konstante im Exponenten
$\omega$: Kreisfrequenz

Die Laplace-Transformierten von Potenzen, e-Funktion, Sinus und Kosinus bilden die Grundlage jeder Korrespondenztabelle.