Variation der Konstanten

Studium

y_p(x) = C(x)\,e^{-A(x)}, \qquad C'(x) = b(x)\,e^{A(x)}

Voraussetzung: $y' + a(x)\,y = b(x),$ $A'(x) = a(x)$

$y_p$: partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Gleichung
$C(x)$: Funktion, die an die Stelle der Konstanten C der homogenen Lösung tritt
$A(x)$: eine Stammfunktion von a(x)
$a(x)$: Koeffizient vor y in der Normalform y′ + a(x)·y = b(x)
$b(x)$: Störfunktion (Inhomogenität)

Man ersetzt die Konstante der homogenen Lösung durch eine Funktion C(x) und erhält so eine Lösung der inhomogenen Gleichung.

Erklärung

Die Variation der Konstanten liefert eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung, wenn die homogene Lösung bekannt ist. Für $y' + a(x)\,y = b(x)$ geht man in drei Schritten vor:

Die homogene Gleichung $y' + a(x)\,y = 0$ lösen: $y_h = C\,e^{-A(x)}$ .
Die Konstante durch eine Funktion ersetzen: Ansatz $y_p = C(x)\,e^{-A(x)}$ .
Einsetzen. Die Terme mit $C(x)$ heben sich weg, übrig bleibt $C'(x)\,e^{-A(x)} = b(x)$ , also $C'(x) = b(x)\,e^{A(x)}$ . Integrieren liefert $C(x)$ .

Die allgemeine Lösung ist dann $y = y_h + y_p$ . Das Ergebnis ist dasselbe wie mit der Lösungsformel für lineare DGL erster Ordnung; die Variation der Konstanten zeigt, woher diese Formel kommt.

Das Verfahren funktioniert für jede stetige Störfunktion, auch wenn ein Ansatz vom Typ der rechten Seite versagt. Es lässt sich auf lineare Gleichungen höherer Ordnung übertragen; dort variiert man alle Konstanten der homogenen Lösung und erhält ein lineares Gleichungssystem für die $C_i'(x)$ .

Beispiele

$y' - y = x$ . Hier ist $a = -1$ , $A(x) = -x$ , die homogene Lösung $y_h = C\,e^{x}$ . Ansatz $y_p = C(x)\,e^{x}$ :

C'(x)\,e^{x} = x \quad\Rightarrow\quad C'(x) = x\,e^{-x} \quad\Rightarrow\quad C(x) = -(x + 1)\,e^{-x}

(partielle Integration; Probe durch Ableiten). Damit ist $y_p = -(x + 1)$ und die allgemeine Lösung

y = K\,e^{x} - x - 1

Probe: $y_p' - y_p = -1 + x + 1 = x$ .

$y' + 2y = e^{-2x}$ . Die homogene Lösung ist $C\,e^{-2x}$ . Ein Ansatz $y_p = c\,e^{-2x}$ scheitert, weil er selbst homogene Lösung ist. Mit der Variation der Konstanten:

C'(x) = e^{-2x} \cdot e^{2x} = 1 \quad\Rightarrow\quad C(x) = x \quad\Rightarrow\quad y_p = x\,e^{-2x}

Probe: $y_p' + 2y_p = e^{-2x} - 2x\,e^{-2x} + 2x\,e^{-2x} = e^{-2x}$ .

Typische Fehler

Beim Einsetzen nicht beachten, dass $C(x)$ jetzt abgeleitet werden muss: $y_p' = C'(x)\,e^{-A} - a(x)\,C(x)\,e^{-A}$ .
$C'(x) = b(x)\,e^{-A(x)}$ statt $b(x)\,e^{+A(x)}$ schreiben.
Am Ende die homogene Lösung vergessen: Die allgemeine Lösung ist $y_h + y_p$ , nicht nur $y_p$ .
Die Gleichung nicht auf Normalform mit Faktor $1$ vor $y'$ bringen, bevor man $b(x)$ abliest.

Variation der Konstanten