Lineare DGL erster Ordnung

Studium

y' + a(x)\,y = b(x) \;\Rightarrow\; y(x) = e^{-A(x)} \left( \int b(x)\,e^{A(x)}\,dx + C \right)

Voraussetzung: $a, b$ $stetig$ $,$ $A'(x) = a(x)$

$y$: gesuchte Funktion y(x)
$y'$: Ableitung von y nach x
$a(x)$: Koeffizient vor y
$b(x)$: Störfunktion (Inhomogenität); bei b = 0 heißt die DGL homogen
$A(x)$: eine Stammfunktion von a(x)
$C$: Integrationskonstante, wird aus einem Anfangswert bestimmt

Die Lösung von y′ + a(x)·y = b(x) erhält man mit dem integrierenden Faktor e^A(x), wobei A eine Stammfunktion von a ist.

Erklärung

Eine Differentialgleichung heißt linear erster Ordnung, wenn $y$ und $y'$ nur linear vorkommen. In der Normalform steht vor $y'$ der Faktor $1$ :

y' + a(x)\,y = b(x)

Man multipliziert mit dem integrierenden Faktor $e^{A(x)}$ . Wegen $A' = a$ wird die linke Seite dann zur Ableitung eines Produkts:

\bigl(y \, e^{A(x)}\bigr)' = b(x)\,e^{A(x)}

Integrieren und Auflösen nach $y$ liefert die Formel. Welche Stammfunktion $A$ man nimmt, spielt keine Rolle; eine andere Konstante in $A$ wird von $C$ aufgefangen.

Die Lösung hat immer die Struktur allgemeine Lösung = homogene Lösung + eine partikuläre Lösung. Der Teil $C\,e^{-A(x)}$ löst die homogene Gleichung $y' + a(x)\,y = 0$ , der Rest ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung. Sind $a$ und $b$ auf einem Intervall stetig, gibt es zu jedem Anfangswert genau eine Lösung auf dem ganzen Intervall.

Beispiele

$y' + 2y = 4$ mit $y(0) = 0$ . Hier ist $a = 2$ , $A(x) = 2x$ , $b = 4$ :

y = e^{-2x} \left( \int 4\,e^{2x}\,dx + C \right) = e^{-2x} \left( 2\,e^{2x} + C \right) = 2 + C\,e^{-2x}

Aus $y(0) = 2 + C = 0$ folgt $C = -2$ , also $y = 2 - 2\,e^{-2x}$ . Probe: $y' + 2y = 4\,e^{-2x} + 4 - 4\,e^{-2x} = 4$ . Es ist $y(1) = 2 - 2\,e^{-2} \approx 1{,}7293$ ; für $x \to \infty$ nähert sich $y$ dem Wert $2$ .

$y' + \frac{1}{x}\,y = x$ für $x > 0$ . Mit $A(x) = \ln x$ ist $e^{A(x)} = x$ :

y = \frac{1}{x} \left( \int x \cdot x\,dx + C \right) = \frac{1}{x} \left( \frac{x^3}{3} + C \right) = \frac{x^2}{3} + \frac{C}{x}

Typische Fehler

Die Gleichung nicht auf Normalform bringen: Bei $2y' + 6y = 4$ ist $a = 3$ und $b = 2$ , nicht $a = 6$ .
Das Vorzeichen im Exponenten vertauschen: Vor der Klammer steht $e^{-A}$ , im Integral $e^{+A}$ .
Die Konstante außerhalb der Klammer addieren: $y = e^{-A}\int b\,e^{A}\,dx + C$ ist falsch, richtig ist $C\,e^{-A}$ .
Bei $a(x) = \frac{1}{x}$ übersehen, dass die Lösung nur auf $x > 0$ oder auf $x < 0$ gilt.

Lineare DGL erster Ordnung