Lineare DGL 2. Ordnung: zwei reelle Lösungen

Studium

y(x) = C_1\,e^{\lambda_1 x} + C_2\,e^{\lambda_2 x}

Voraussetzung: $y'' + a\,y' + b\,y = 0,$ $a^2 > 4b,$ $\lambda_{1,2} = -\tfrac{a}{2} \pm \sqrt{\tfrac{a^2}{4} - b}$

$y(x)$: allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
$\lambda_1, \lambda_2$: die zwei verschiedenen reellen Lösungen der charakteristischen Gleichung λ² + aλ + b = 0
$C_1, C_2$: frei wählbare Konstanten, bestimmt durch zwei Anfangs- oder Randbedingungen
$x$: unabhängige Variable

Hat die charakteristische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen, ist die Lösung eine Summe zweier e-Funktionen.

Erklärung

Betrachtet wird die homogene Gleichung $y'' + a\,y' + b\,y = 0$ mit konstanten $a$ , $b$ . Ist $a^2 > 4b$ , hat die charakteristische Gleichung $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$ zwei verschiedene reelle Lösungen $\lambda_1 \neq \lambda_2$ . Dann sind $e^{\lambda_1 x}$ und $e^{\lambda_2 x}$ zwei linear unabhängige Lösungen, und jede Lösung ist eine Linearkombination davon.

Die Konstanten $C_1$ , $C_2$ legt man über zwei Bedingungen fest, meist $y(0) = y_0$ und $y'(0) = v_0$ . Das ergibt das lineare Gleichungssystem

C_1 + C_2 = y_0, \qquad \lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2 = v_0

Sind beide $\lambda_i$ negativ, klingt jede Lösung ohne Schwingung ab. In der Physik heißt das Kriechfall (starke Dämpfung).

Beispiele

$y'' + y' - 6y = 0$ mit $y(0) = 5$ und $y'(0) = 0$ . Die charakteristische Gleichung $\lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda - 2)(\lambda + 3) = 0$ liefert $\lambda_1 = 2$ , $\lambda_2 = -3$ :

y = C_1\,e^{2x} + C_2\,e^{-3x}

Die Anfangswerte ergeben $C_1 + C_2 = 5$ und $2C_1 - 3C_2 = 0$ , also $C_1 = 3$ , $C_2 = 2$ :

y = 3\,e^{2x} + 2\,e^{-3x}

$y'' - 4y = 0$ mit $y(0) = 0$ , $y'(0) = 4$ . Aus $\lambda^2 - 4 = 0$ folgt $\lambda = \pm 2$ . Die Bedingungen $C_1 + C_2 = 0$ und $2C_1 - 2C_2 = 4$ liefern $C_1 = 1$ , $C_2 = -1$ :

y = e^{2x} - e^{-2x} = 2\sinh(2x)

Bei $\lambda = \pm\mu$ schreibt man die Lösung oft gleichwertig als $y = D_1 \cosh(\mu x) + D_2 \sinh(\mu x)$ .

Typische Fehler

Bei den Anfangswerten die Ableitung falsch bilden: $y'(0) = \lambda_1 C_1 + \lambda_2 C_2$ , nicht $C_1 + C_2$ .
Vorzeichen beim Ablesen vertauschen: Aus $(\lambda - 2)(\lambda + 3) = 0$ folgt $\lambda = 2$ und $\lambda = -3$ .
Die Formel bei $a^2 = 4b$ verwenden: Dann ist $\lambda_1 = \lambda_2$ und $C_1\,e^{\lambda x} + C_2\,e^{\lambda x}$ enthält nur eine freie Konstante.

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