Gedämpfter Oszillator

Studium

\ddot{x} + 2\delta\,\dot{x} + \omega_0^2\,x = 0 \;\Rightarrow\; x(t) = e^{-\delta t} \bigl( A\cos(\omega_d t) + B\sin(\omega_d t) \bigr)

Voraussetzung: $0 < \delta < \omega_0,$ $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$

$x(t)$: Auslenkung aus der Ruhelage zur Zeit t
$\dot{x}, \ddot{x}$: erste und zweite Ableitung von x nach der Zeit
$\delta$: Abklingkonstante, beim Federpendel δ = b/(2m) mit Reibungskoeffizient b
$\omega_0$: Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems
$\omega_d$: Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
$A, B$: Konstanten aus den Anfangswerten, A = x(0)
$t$: Zeit

Bei schwacher Dämpfung schwingt das System mit ω_d = √(ω₀² − δ²), und die Amplitude klingt wie e^(−δt) ab.

Erklärung

Wirkt auf einen Oszillator zusätzlich eine Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit, gilt für das Federpendel $m\,\ddot{x} = -k\,x - b\,\dot{x}$ . Mit $\delta = \frac{b}{2m}$ und $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ wird daraus

\ddot{x} + 2\delta\,\dot{x} + \omega_0^2\,x = 0

Die charakteristische Gleichung $\lambda^2 + 2\delta\lambda + \omega_0^2 = 0$ hat die Lösungen $\lambda = -\delta \pm \sqrt{\delta^2 - \omega_0^2}$ . Je nach Stärke der Dämpfung gibt es drei Fälle:

Schwingfall $\delta < \omega_0$ : komplexe Lösungen $-\delta \pm i\,\omega_d$ . Das System schwingt mit $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}$ , die Amplitude nimmt wie $e^{-\delta t}$ ab (Formel oben).
Aperiodischer Grenzfall $\delta = \omega_0$ : doppelte Lösung, $x(t) = (A + B\,t)\,e^{-\delta t}$ . Schnellste Rückkehr in die Ruhelage ohne Überschwingen.
Kriechfall $\delta > \omega_0$ : zwei negative reelle Lösungen, $x(t) = e^{-\delta t}\bigl(C_1\,e^{\mu t} + C_2\,e^{-\mu t}\bigr)$ mit $\mu = \sqrt{\delta^2 - \omega_0^2}$ . Das System kriecht langsam zurück.

Im Schwingfall ergeben die Anfangswerte $A = x(0)$ und $-\delta A + \omega_d B = \dot{x}(0)$ . Nach einer Periode $T_d = \frac{2\pi}{\omega_d}$ ist die Amplitude um den Faktor $e^{-\delta T_d}$ kleiner.

Beispiele

Eine Masse von $1\,\text{kg}$ hängt an einer Feder mit $k = 25\,\text{N/m}$ , der Reibungskoeffizient ist $b = 2\,\text{kg/s}$ . Dann ist

\delta = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1\,\text{s}^{-1}, \quad \omega_0 = 5\,\text{s}^{-1}, \quad \omega_d = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\,\text{s}^{-1}

Sie wird um $0{,}1\,\text{m}$ ausgelenkt und losgelassen, also $x(0) = 0{,}1$ , $\dot{x}(0) = 0$ . Dann ist $A = 0{,}1$ und $B = \frac{\delta A}{\omega_d} = \frac{0{,}1}{\sqrt{24}} \approx 0{,}0204$ :

x(t) = e^{-t} \bigl( 0{,}1\cos(4{,}899\,t) + 0{,}0204\sin(4{,}899\,t) \bigr)

Eine Periode dauert $T_d = \frac{2\pi}{\sqrt{24}} \approx 1{,}2825\,\text{s}$ . In dieser Zeit schrumpft die Amplitude auf $e^{-1{,}2825} \approx 0{,}2773$ , also auf gut ein Viertel.

Den aperiodischen Grenzfall erreicht dieselbe Feder bei $\delta = \omega_0$ , also bei $b = 2 \cdot 1 \cdot 5 = 10\,\text{kg/s}$ .

Typische Fehler

Mit $\omega_0$ statt $\omega_d$ rechnen. Die gedämpfte Schwingung ist langsamer: $\omega_d < \omega_0$ .
Den Faktor $2$ in $2\delta$ vergessen. Steht in der Gleichung $\ddot{x} + c\,\dot{x} + \ldots$ , ist $\delta = \frac{c}{2}$ .
Bei losgelassener Masse $B = 0$ setzen. Wegen der Dämpfung ist $B = \frac{\delta A}{\omega_d}$ , nicht $0$ .
Die Formel für den Schwingfall auch bei $\delta \geq \omega_0$ verwenden. Bei $\delta > \omega_0$ ist $\omega_d$ nicht reell, bei $\delta = \omega_0$ ist $\omega_d = 0$ und $B\sin(\omega_d t)$ verschwindet. Dort braucht man die Formeln der anderen Fälle.

Gedämpfter Oszillator