Laplace-Transformation der Ableitung

Studium

\mathcal{L}\{f'\} = s\,F(s) - f(0), \qquad \mathcal{L}\{f''\} = s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0)

Voraussetzung: $f$ $stetig$ $,$ $f, f'$ $höchstens exponentiell$ $wachsend$ $,$ $s > \sigma;$ $für$ $f''$ $zusätzlich$ $f'$ $stetig und$ $f''$ $höchstens exponentiell wachsend$

$f$: Originalfunktion, auf t ≥ 0 differenzierbar
$f', f''$: erste und zweite Ableitung von f
$F(s)$: Laplace-Transformierte von f
$f(0)$: Anfangswert von f
$f'(0)$: Anfangswert der Ableitung
$s$: Variable im Bildbereich
$\mathcal{L}$: Laplace-Transformation

Ableiten im Zeitbereich wird zur Multiplikation mit s; die Anfangswerte stehen direkt in der Formel.

Erklärung

Der Differentiationssatz ist der Grund, warum man Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation löst. Er folgt aus partieller Integration:

\int_0^\infty f'(t)\,e^{-st}\,dt = \Bigl[ f(t)\,e^{-st} \Bigr]_0^\infty + s \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt = -f(0) + s\,F(s)

Der Randterm bei $\infty$ verschwindet, weil $f$ höchstens exponentiell wächst und $s$ groß genug ist. Zweimal angewendet ergibt sich die Formel für $f''$ . Allgemein gilt

\mathcal{L}\{f^{(n)}\} = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \ldots - f^{(n-1)}(0)

Vorgehen bei einem Anfangswertproblem: beide Seiten transformieren, die Anfangswerte einsetzen, nach $Y(s)$ auflösen und mit der Korrespondenztabelle zurücktransformieren. Die Anfangswerte sind damit automatisch eingebaut; eine allgemeine Lösung mit Konstanten braucht man nicht.

Beispiele

$y' + 2y = 0$ mit $y(0) = 3$ . Transformieren ergibt

s\,Y - 3 + 2Y = 0 \quad\Rightarrow\quad Y(s) = \frac{3}{s + 2} \quad\Rightarrow\quad y(t) = 3\,e^{-2t}

$y'' + 3y' + 2y = 0$ mit $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ :

\bigl(s^2 Y - s \cdot 1 - 0\bigr) + 3\,\bigl(s\,Y - 1\bigr) + 2Y = 0 \quad\Rightarrow\quad Y(s) = \frac{s + 3}{(s + 1)(s + 2)}

Partialbruchzerlegung: $Y(s) = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}$ , also

y(t) = 2\,e^{-t} - e^{-2t}

Probe: $y(0) = 2 - 1 = 1$ und $y'(0) = -2 + 2 = 0$ .

Typische Fehler

Die Anfangswerte vergessen und $\mathcal{L}\{f'\} = s\,F(s)$ schreiben. Das stimmt nur bei $f(0) = 0$ .
Bei der zweiten Ableitung $f(0)$ nicht mit $s$ multiplizieren: richtig ist $s^2 F - s\,f(0) - f'(0)$ .
Das Vorzeichen falsch setzen: Die Anfangswerte werden abgezogen, nicht addiert.
Im Bildbereich bei der Partialbruchzerlegung Rechenfehler machen und dann eine Lösung erhalten, die die Anfangswerte nicht erfüllt. Die Probe mit $y(0)$ und $y'(0)$ deckt das auf.

Laplace-Transformation der Ableitung