Trennung der Variablen

Studium

y' = f(x)\,g(y) \;\Rightarrow\; \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C

Voraussetzung: $f, g$ $stetig$ $,$ $g(y) \neq 0$

$y$: gesuchte Funktion y(x)
$y'$: Ableitung von y nach x
$x$: unabhängige Variable
$f(x)$: Faktor, der nur von x abhängt
$g(y)$: Faktor, der nur von y abhängt
$C$: Integrationskonstante, wird z.B. aus einem Anfangswert bestimmt

Lässt sich y′ als f(x) · g(y) schreiben, bringt man alles mit y auf eine Seite und integriert beide Seiten.

Erklärung

Eine Differentialgleichung erster Ordnung heißt separierbar, wenn sich die rechte Seite als Produkt $f(x) \cdot g(y)$ schreiben lässt, also als ein Faktor nur in $x$ mal ein Faktor nur in $y$ . Dann trennt man die Variablen:

\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx

und integriert beide Seiten. Das Ergebnis ist eine Gleichung zwischen $x$ und $y$ , die man nach Möglichkeit nach $y$ auflöst. Die Konstante $C$ legt man über einen Anfangswert $y(x_0) = y_0$ fest.

Die Umformung mit $dy$ und $dx$ ist eine Kurzschreibweise. Streng genommen steckt die Substitutionsregel dahinter: $\int \frac{y'(x)}{g(y(x))}\,dx = \int \frac{dy}{g(y)}$ .

Die Bedingung $g(y) \neq 0$ ist wichtig. Jede Nullstelle $y^*$ von $g$ liefert eine konstante Lösung $y \equiv y^*$ , die beim Teilen durch $g(y)$ verloren geht. Sie muss gesondert notiert werden.

Beispiele

$y' = x \cdot y$ mit $y(0) = 2$ . Hier ist $f(x) = x$ und $g(y) = y$ :

\int \frac{dy}{y} = \int x\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C \quad\Rightarrow\quad y = K\,e^{x^2/2}

mit $K = \pm e^C$ . Auch $K = 0$ ist erlaubt, das ist die konstante Lösung $y \equiv 0$ . Aus $y(0) = 2$ folgt $K = 2$ , also $y = 2\,e^{x^2/2}$ und zum Beispiel $y(1) = 2\,e^{0{,}5} \approx 3{,}2974$ .

$y' = y^2$ mit $y(0) = 1$ :

\int \frac{dy}{y^2} = \int 1\,dx \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{y} = x + C

Aus $y(0) = 1$ folgt $C = -1$ , also $y = \frac{1}{1 - x}$ . Es ist $y(0{,}5) = 2$ und $y(0{,}9) = 10$ . Die Lösung existiert nur für $x < 1$ , obwohl die rechte Seite $y^2$ überall definiert ist. Bei nichtlinearen Gleichungen kann die Lösung in endlicher Zeit über alle Grenzen wachsen.

Typische Fehler

Die Integrationskonstante vergessen oder auf beiden Seiten eine eigene Konstante schreiben. Eine Konstante auf einer Seite genügt.
Die Konstante falsch weiterführen: Aus $\ln|y| = x + C$ folgt $y = K\,e^{x}$ mit $K = \pm e^C$ , nicht $y = e^x + C$ .
Konstante Lösungen übersehen, die beim Teilen durch $g(y)$ wegfallen, z.B. $y \equiv 0$ bei $y' = x\,y$ .
Eine Gleichung trennen, die nicht separierbar ist: $y' = x + y$ lässt sich nicht als Produkt schreiben. Hier hilft die Formel für lineare DGL.

Trennung der Variablen