Lineare DGL 2. Ordnung: komplexe Lösungen

Studium

y(x) = e^{\alpha x} \bigl( C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x) \bigr)

Voraussetzung: $y'' + a\,y' + b\,y = 0,$ $a^2 < 4b,$ $\alpha = -\tfrac{a}{2},$ $\omega = \sqrt{b - \tfrac{a^2}{4}}$

$y(x)$: allgemeine reelle Lösung der homogenen Gleichung
$\alpha$: Realteil der Lösungen λ = α ± iω der charakteristischen Gleichung
$\omega$: Imaginärteil (positiv), bestimmt die Kreisfrequenz der Schwingung
$C_1, C_2$: reelle Konstanten, bestimmt durch zwei Anfangs- oder Randbedingungen
$x$: unabhängige Variable

Hat die charakteristische Gleichung komplexe Lösungen α ± iω, schwingt die Lösung mit ω und der Hüllkurve e^(αx).

Erklärung

Betrachtet wird $y'' + a\,y' + b\,y = 0$ mit konstanten reellen $a$ , $b$ . Ist $a^2 < 4b$ , hat die charakteristische Gleichung die konjugiert komplexen Lösungen

\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\,\omega, \qquad \alpha = -\frac{a}{2}, \quad \omega = \sqrt{b - \frac{a^2}{4}} > 0

Die komplexen Lösungen $e^{(\alpha \pm i\omega)x}$ lassen sich mit der Eulerschen Formel zerlegen: $e^{(\alpha + i\omega)x} = e^{\alpha x}\bigl(\cos(\omega x) + i\sin(\omega x)\bigr)$ . Real- und Imaginärteil sind jeweils reelle Lösungen, nämlich $e^{\alpha x}\cos(\omega x)$ und $e^{\alpha x}\sin(\omega x)$ . Daraus setzt sich die allgemeine reelle Lösung zusammen.

Die Lösung ist eine Schwingung mit der Kreisfrequenz $\omega$ , deren Amplitude sich wie $e^{\alpha x}$ verhält:

$\alpha < 0$ : gedämpfte Schwingung, die abklingt.
$\alpha = 0$ : ungedämpfte Schwingung mit konstanter Amplitude.
$\alpha > 0$ : aufschaukelnde Schwingung.

Die Anfangswerte ergeben $C_1 = y(0)$ und $\alpha C_1 + \omega C_2 = y'(0)$ .

Beispiele

$y'' + 2y' + 5y = 0$ mit $y(0) = 1$ , $y'(0) = 1$ . Aus $\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0$ folgt

\lambda_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i

also $\alpha = -1$ , $\omega = 2$ und $y = e^{-x}\bigl(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\bigr)$ . Aus $C_1 = 1$ und $-C_1 + 2C_2 = 1$ folgt $C_2 = 1$ :

y = e^{-x} \bigl( \cos(2x) + \sin(2x) \bigr)

$y'' + 9y = 0$ führt auf $\lambda^2 + 9 = 0$ , also $\lambda = \pm 3i$ mit $\alpha = 0$ :

y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)

Das ist eine ungedämpfte Schwingung mit der Periode $\frac{2\pi}{3}$ .

Typische Fehler

$\omega$ mit Vorzeichen oder aus der falschen Wurzel bilden: $\omega = \sqrt{b - \frac{a^2}{4}}$ , nicht $\sqrt{\frac{a^2}{4} - b}$ .
Die komplexe Lösung $C\,e^{(\alpha + i\omega)x}$ als Endergebnis stehen lassen, obwohl eine reelle Lösung gesucht ist.
Den Faktor $e^{\alpha x}$ nur vor den Kosinus schreiben: Er gehört vor die ganze Klammer.
Bei $y'(0)$ den Anteil von $e^{\alpha x}$ vergessen: $y'(0) = \alpha C_1 + \omega C_2$ , nicht nur $\omega C_2$ .

Lineare DGL 2. Ordnung: komplexe Lösungen