DGL des exponentiellen Wachstums

Erklärung

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion zusammen mit ihrer Ableitung vorkommt. Die einfachste lautet $f'(t) = k \cdot f(t)$: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand. Je mehr da ist, desto schneller wächst es. So verhalten sich zum Beispiel Bakterienkulturen ohne Platzmangel oder radioaktive Stoffe.

Die Lösungen sind genau die Funktionen $f(t) = f(0) \cdot e^{kt}$. Das prüft man durch Ableiten mit der Kettenregel: $f'(t) = f(0) \cdot k \cdot e^{kt} = k \cdot f(t)$. Die Gleichung legt die Funktion bis auf den Anfangswert $f(0)$ fest.

• $k > 0$: exponentielles Wachstum.
• $k < 0$: exponentielle Abnahme (Zerfall).
• Pro Zeiteinheit wird der Bestand mit $e^{k}$ multipliziert. Der prozentuale Zuwachs pro Zeiteinheit ist also $p = 100 \cdot (e^k - 1)$, nicht $100 \cdot k$.

Beispiele

Eine Bakterienkultur wächst nach $f'(t) = 0{,}3 \cdot f(t)$ ($t$ in Stunden) und hat am Anfang $100$ Bakterien. Nach $5$ Stunden:

Die Verdopplungszeit folgt aus $e^{0{,}3t} = 2$: $t = \frac{\ln 2}{0{,}3} \approx 2{,}31$ Stunden. Pro Stunde wächst die Kultur um etwa $100 \cdot (e^{0{,}3} - 1) \approx 35\,\%$, nicht um $30\,\%$.

Ein Stoff zerfällt nach $f'(t) = -0{,}1 \cdot f(t)$ ($t$ in Jahren), anfangs sind $50\,\text{g}$ vorhanden. Nach $10$ Jahren sind es $f(10) = 50 \cdot e^{-1} \approx 18{,}39\,\text{g}$.

Aus Messwerten $k$ bestimmen: Eine Größe steigt in $4$ Tagen von $200$ auf $300$. Aus $200 \cdot e^{4k} = 300$ folgt $e^{4k} = 1{,}5$, also

Typische Fehler

• $k$ mit dem Prozentsatz verwechseln: $k = 0{,}3$ bedeutet nicht $30\,\%$ Wachstum pro Zeiteinheit, sondern etwa $35\,\%$.
• Das Vorzeichen bei Abnahme vergessen: Bei Zerfall ist $k$ negativ, z.B. $f(t) = 50 \cdot e^{-0{,}1t}$.
• Die DGL mit $f'(t) = k$ verwechseln: Ist die Änderungsrate konstant, wächst der Bestand linear, nicht exponentiell.
• Beim Lösen von $e^{4k} = 1{,}5$ den Logarithmus falsch anwenden: $4k = \ln 1{,}5$, nicht $k = \ln(1{,}5 / 4)$.