Laplace-Transformation

Studium

F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt

Voraussetzung: $|f(t)| \leq M e^{\sigma t}$ $für alle$ $t \geq 0,$ $s > \sigma$

$f(t)$: Originalfunktion, definiert für t ≥ 0
$F(s)$: Bildfunktion (Laplace-Transformierte)
$\mathcal{L}$: Laplace-Operator, der f die Funktion F zuordnet
$s$: Variable im Bildbereich (reell oder komplex mit Re s > σ)
$t$: Zeitvariable im Originalbereich
$M, \sigma$: Konstanten, mit denen f höchstens exponentiell wächst

Die Laplace-Transformation ordnet einer Funktion f(t) das Integral von f(t) · e^(−st) über t von 0 bis ∞ zu.

Erklärung

Die Laplace-Transformation ordnet einer Funktion $f(t)$ , die für $t \geq 0$ definiert ist, eine neue Funktion $F(s)$ zu. Man nennt $f$ die Originalfunktion und $F$ die Bildfunktion. Ihr Hauptnutzen: Aus Ableitungen werden Multiplikationen mit $s$ . Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten werden so zu algebraischen Gleichungen, die man nach $F(s)$ auflöst und anschließend zurücktransformiert.

Das Integral ist uneigentlich. Es existiert, wenn $f$ stückweise stetig ist und höchstens exponentiell wächst, also $|f(t)| \leq M\,e^{\sigma t}$ gilt. Dann konvergiert es für alle $s > \sigma$ (bei komplexem $s$ für $\operatorname{Re} s > \sigma$ ).

Wichtige Eigenschaften:

Linearität: $\mathcal{L}\{c_1 f + c_2 g\} = c_1 F + c_2 G$ .
Eindeutigkeit: Stetige Funktionen mit gleicher Bildfunktion sind gleich. Deshalb kann man über eine Tabelle zurücktransformieren.
Werte von $f$ für $t < 0$ spielen keine Rolle.

Beispiele

Für $f(t) = e^{at}$ und $s > a$ :

F(s) = \int_0^\infty e^{(a - s)t}\,dt = \left[ \frac{e^{(a - s)t}}{a - s} \right]_0^\infty = 0 - \frac{1}{a - s} = \frac{1}{s - a}

Mit $a = 0$ folgt $\mathcal{L}\{1\} = \frac{1}{s}$ . Für $f(t) = e^{-3t}$ ist $F(s) = \frac{1}{s + 3}$ , an der Stelle $s = 1$ also $\frac{1}{4}$ .

Für $f(t) = t$ liefert partielle Integration $\mathcal{L}\{t\} = \frac{1}{s^2}$ , an der Stelle $s = 2$ also $0{,}25$ . Ein numerisch berechnetes Integral von $t\,e^{-2t}$ über $[0, 20]$ ergibt ebenfalls $0{,}2500$ .

Wegen der Linearität ist

\mathcal{L}\{3 + 2e^{-t}\} = \frac{3}{s} + \frac{2}{s + 1} = \frac{5s + 3}{s\,(s + 1)}

Typische Fehler

Das Vorzeichen im Exponenten vergessen: Der Kern ist $e^{-st}$ , nicht $e^{st}$ .
Den Gültigkeitsbereich weglassen: $\mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}$ gilt nur für $s > a$ .
Annehmen, die Transformierte eines Produkts sei das Produkt der Transformierten. Das gilt nicht, $\mathcal{L}\{f \cdot g\} \neq F \cdot G$ .
Funktionen transformieren, die zu schnell wachsen, z.B. $e^{t^2}$ . Für sie existiert das Integral für kein $s$ .

Laplace-Transformation