Bernoulli-DGL

Erklärung

Eine Bernoulli-Differentialgleichung sieht aus wie eine lineare DGL erster Ordnung, hat rechts aber den Faktor $y^n$:

Für $n = 0$ ist sie linear, für $n = 1$ linear und homogen; interessant sind alle anderen $n$. Man teilt durch $y^n$ und substituiert $z = y^{1-n}$. Wegen $z' = (1-n)\,y^{-n}\,y'$ entsteht die lineare Gleichung

Diese löst man mit der Formel für lineare DGL oder mit Variation der Konstanten und setzt am Ende $y = z^{\frac{1}{1-n}}$ zurück.

Die Bedingung $y > 0$ sorgt dafür, dass $y^n$ und $y^{1-n}$ für jedes reelle $n$ definiert sind. Bei ganzzahligem $n$ darf $y$ auch negativ sein, solange $y \neq 0$ ist, wo durch $y$ geteilt wird. Für $n > 0$ ist außerdem $y \equiv 0$ eine Lösung, die bei der Substitution verloren geht.

Beispiele

Die logistische Gleichung $y' = y - y^2$ ist eine Bernoulli-DGL mit $a = -1$, $b = -1$, $n = 2$. Mit $z = y^{-1}$ wird daraus

mit der Lösung $z = 1 + C\,e^{-x}$. Also ist $y = \frac{1}{1 + C\,e^{-x}}$. Für $y(0) = 0{,}5$ ist $C = 1$, und es gilt $y(2) = \frac{1}{1 + e^{-2}} \approx 0{,}8808$.

$y' + y = y^3$ mit $n = 3$. Die Substitution $z = y^{-2}$ ergibt

für positive Lösungen. Probe: $y' = -C\,e^{2x}\,(1 + C\,e^{2x})^{-3/2}$, und $y' + y$ ergibt genau $(1 + C\,e^{2x})^{-3/2} = y^3$.

Typische Fehler

• Den Faktor $(1-n)$ nur auf einer Seite anbringen. Er steht vor $a(x)$ und vor $b(x)$.
• $z = y^{n-1}$ statt $z = y^{1-n}$ substituieren. Dann entsteht keine lineare Gleichung.
• Am Ende vergessen, von $z$ auf $y$ zurückzurechnen.
• Die Lösung $y \equiv 0$ übersehen, wenn $n > 0$ ist.