Wichtige Laplace-Transformierte

Studium

\mathcal{L}\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}, \quad \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a}, \quad \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}, \quad \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2}

Voraussetzung: $n \in \mathbb{N}_0,$ $s > 0,$ $s > a,$ $\omega \in \mathbb{R}$

$\mathcal{L}$: Laplace-Transformation
$s$: Variable im Bildbereich
$t$: Zeitvariable, t ≥ 0
$n$: Exponent der Potenz, natürliche Zahl einschließlich 0
$a$: reelle Konstante im Exponenten
$\omega$: Kreisfrequenz

Die Laplace-Transformierten von Potenzen, e-Funktion, Sinus und Kosinus bilden die Grundlage jeder Korrespondenztabelle.

Erklärung

Mit der Laplace-Transformation rechnet man fast nie über das Integral, sondern mit einer Korrespondenztabelle. Die Formel oben enthält die wichtigsten Einträge. Weitere folgen daraus über die Rechenregeln:

$f(t)$	$F(s)$	gültig für
$1$	$\frac{1}{s}$	$s > 0$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	$s > 0$
$e^{at}$	$\frac{1}{s - a}$	$s > a$
$t^n\,e^{at}$	$\frac{n!}{(s - a)^{n+1}}$	$s > a$
$\sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$	$s > 0$
$\cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$	$s > 0$
$e^{at}\sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}$	$s > a$
$e^{at}\cos(\omega t)$	$\frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2}$	$s > a$
$\sinh(at)$	$\frac{a}{s^2 - a^2}$	$s > \lvert a \rvert$
$\cosh(at)$	$\frac{s}{s^2 - a^2}$	$s > \lvert a \rvert$

Die Zeilen mit $e^{at}$ folgen aus dem Verschiebungssatz $\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$ : Multiplikation mit $e^{at}$ verschiebt die Bildfunktion um $a$ . Sinus und Kosinus erhält man aus $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)$ und $\frac{1}{s - i\omega} = \frac{s + i\omega}{s^2 + \omega^2}$ .

Zum Zurücktransformieren bringt man $F(s)$ durch Partialbruchzerlegung und quadratische Ergänzung in Tabellenform.

Beispiele

$\mathcal{L}\{\sin(2t)\}$ an der Stelle $s = 1$ : $\frac{2}{1 + 4} = 0{,}4$ . Ebenso ist $\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(1) = 0{,}2$ und $\mathcal{L}\{t^2\}(1) = \frac{2!}{1^3} = 2$ . Für $e^{-t}\cos(2t)$ an der Stelle $s = 1$ liefert der Verschiebungssatz $\frac{1 + 1}{(1 + 1)^2 + 4} = 0{,}25$ . Numerisch berechnete Integrale bestätigen alle vier Werte.

Rücktransformation von $F(s) = \frac{1}{s\,(s + 1)}$ mit Partialbrüchen:

\frac{1}{s\,(s + 1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1} \quad\Rightarrow\quad f(t) = 1 - e^{-t}

Weitere Tabellenfälle: $\frac{3}{s^2 + 9}$ gehört zu $\sin(3t)$ , und $\frac{s + 2}{(s + 2)^2 + 1}$ gehört zu $e^{-2t}\cos t$ .

Typische Fehler

Sinus und Kosinus vertauschen: Beim Sinus steht $\omega$ im Zähler, beim Kosinus $s$ .
Beim Verschiebungssatz in die falsche Richtung schieben: Zu $e^{at}$ gehört $s - a$ , also zu $e^{-2t}$ der Ausdruck $s + 2$ .
Bei $\frac{1}{s^2 + 9}$ direkt $\sin(3t)$ ablesen. Es fehlt der Faktor $\frac{1}{3}$ : $f(t) = \frac{1}{3}\sin(3t)$ .
Bei $t^n$ die Fakultät vergessen: $\mathcal{L}\{t^2\} = \frac{2}{s^3}$ , nicht $\frac{1}{s^3}$ .

Wichtige Laplace-Transformierte