Charakteristische Gleichung

Studium

y'' + a\,y' + b\,y = 0 \;\Rightarrow\; \lambda^2 + a\lambda + b = 0

Voraussetzung: $a, b \in \mathbb{R}$ $konstant$

$y$: gesuchte Funktion y(x)
$y', y''$: erste und zweite Ableitung von y
$a, b$: konstante Koeffizienten der Differentialgleichung
$\lambda$: Unbekannte der charakteristischen Gleichung; jede Lösung liefert eine Lösung e^(λx)

Der Ansatz y = e^(λx) macht aus einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten eine Polynomgleichung für λ.

Erklärung

Für eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten setzt man $y = e^{\lambda x}$ an. Wegen $y' = \lambda\,e^{\lambda x}$ und $y'' = \lambda^2\,e^{\lambda x}$ wird daraus

(\lambda^2 + a\lambda + b)\,e^{\lambda x} = 0

Da $e^{\lambda x}$ nie null ist, muss $\lambda$ die charakteristische Gleichung $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$ lösen. Man erhält sie, indem man $y^{(k)}$ durch $\lambda^k$ ersetzt. Mit der pq-Formel ist

\lambda_{1,2} = -\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2}{4} - b}

Die Art der Lösungen entscheidet über die Form der allgemeinen Lösung:

$\frac{a^2}{4} - b > 0$ : zwei verschiedene reelle Lösungen, $y = C_1\,e^{\lambda_1 x} + C_2\,e^{\lambda_2 x}$ .
$\frac{a^2}{4} - b = 0$ : eine doppelte Lösung $\lambda$ , $y = (C_1 + C_2\,x)\,e^{\lambda x}$ .
$\frac{a^2}{4} - b < 0$ : komplexe Lösungen $\alpha \pm i\omega$ , $y = e^{\alpha x}\bigl(C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)\bigr)$ .

Für Ordnung $n$ gilt dasselbe: $y^{(n)} + a_{n-1}\,y^{(n-1)} + \ldots + a_0\,y = 0$ führt auf $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$ . Eine $k$ -fache Nullstelle $\lambda$ liefert die $k$ Lösungen $e^{\lambda x}, x\,e^{\lambda x}, \ldots, x^{k-1}\,e^{\lambda x}$ .

Beispiele

$y'' - 3y' + 2y = 0$ führt auf $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$ , also $\lambda_1 = 1$ , $\lambda_2 = 2$ und

y = C_1\,e^{x} + C_2\,e^{2x}

$y''' - y' = 0$ führt auf $\lambda^3 - \lambda = \lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0$ . Mit $\lambda \in \{0, 1, -1\}$ und $e^{0 \cdot x} = 1$ ist

y = C_1 + C_2\,e^{x} + C_3\,e^{-x}

Typische Fehler

$y$ und $y'$ verwechseln: Zu $y'' + 4y = 0$ gehört $\lambda^2 + 4 = 0$ mit $\lambda = \pm 2i$ , nicht $\lambda^2 + 4\lambda = 0$ .
Den Ansatz bei nicht konstanten Koeffizienten verwenden, z.B. bei $y'' + x\,y = 0$ . Dort funktioniert er nicht.
Die Gleichung nicht auf Faktor $1$ vor der höchsten Ableitung normieren und dann die pq-Formel mit falschen $a$ , $b$ anwenden.
Bei einer doppelten Lösung nur $C\,e^{\lambda x}$ angeben. Für Ordnung 2 braucht man zwei unabhängige Lösungen.

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