Harmonischer Oszillator

Studium

\ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0 \;\Rightarrow\; x(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)

Voraussetzung: $\omega_0 > 0$

$x(t)$: Auslenkung aus der Ruhelage zur Zeit t
$\ddot{x}$: zweite Ableitung von x nach der Zeit (Beschleunigung)
$\omega_0$: Eigenkreisfrequenz, beim Federpendel ω₀ = √(k/m)
$A$: Anfangsauslenkung x(0)
$B$: Anfangsgeschwindigkeit geteilt durch ω₀, also v(0)/ω₀
$t$: Zeit

Ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung, schwingt das System sinusförmig mit der Eigenkreisfrequenz ω₀.

Erklärung

Der harmonische Oszillator beschreibt Systeme, bei denen eine Rückstellkraft proportional zur Auslenkung wirkt und keine Reibung auftritt. Beim Federpendel mit Masse $m$ und Federkonstante $k$ gilt nach Newton $m\,\ddot{x} = -k\,x$ , also

\ddot{x} + \omega_0^2\,x = 0, \qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

Der Punkt über $x$ bezeichnet die Ableitung nach der Zeit. Die charakteristische Gleichung $\lambda^2 + \omega_0^2 = 0$ hat die Lösungen $\pm i\,\omega_0$ . Daher ist jede Lösung eine Überlagerung von Kosinus und Sinus mit derselben Kreisfrequenz.

Aus den Anfangswerten $x(0) = x_0$ und $\dot{x}(0) = v_0$ folgt $A = x_0$ und $B = \frac{v_0}{\omega_0}$ . Gleichwertig ist die Amplituden-Phasen-Form

x(t) = R\cos(\omega_0 t - \varphi), \qquad R = \sqrt{A^2 + B^2}

mit dem Phasenwinkel $\varphi$ , für den $\cos\varphi = \frac{A}{R}$ und $\sin\varphi = \frac{B}{R}$ gilt. Die Periode ist $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$ und hängt nicht von der Amplitude ab. Auch das Fadenpendel folgt für kleine Auslenkungen dieser Gleichung.

Beispiele

Eine Masse von $0{,}5\,\text{kg}$ hängt an einer Feder mit $k = 50\,\text{N/m}$ . Sie wird um $2\,\text{cm}$ ausgelenkt und mit $0{,}3\,\text{m/s}$ angestoßen. Dann ist

\omega_0 = \sqrt{\frac{50}{0{,}5}} = 10\,\text{s}^{-1}, \qquad T = \frac{2\pi}{10} \approx 0{,}6283\,\text{s}

Mit $A = 0{,}02$ und $B = \frac{0{,}3}{10} = 0{,}03$ (in Metern) ist

x(t) = 0{,}02\cos(10t) + 0{,}03\sin(10t)

Die größte Auslenkung ist $R = \sqrt{0{,}02^2 + 0{,}03^2} \approx 0{,}0361\,\text{m}$ , also etwa $3{,}6\,\text{cm}$ .

Typische Fehler

$\omega_0$ mit der Frequenz verwechseln: Die Frequenz ist $f = \frac{\omega_0}{2\pi}$ , die Periode $T = \frac{2\pi}{\omega_0}$ .
$B = v_0$ statt $B = \frac{v_0}{\omega_0}$ setzen. Beim Ableiten von $\sin(\omega_0 t)$ kommt der Faktor $\omega_0$ dazu.
Die Amplitude als $A + B$ statt $\sqrt{A^2 + B^2}$ berechnen.
$\omega_0 = \frac{k}{m}$ ohne Wurzel verwenden.

Harmonischer Oszillator