Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

Studium

y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \left( k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4 \right)

Voraussetzung: $y' = f(t, y),$ $y(t_0) = y_0,$ $f$ $hinreichend$ $glatt$ $,$ $h > 0,$ $t_{n+1} = t_n + h$

$y_n$: Näherung für die Lösung y(t_n)
$h$: Schrittweite
$k_1$: Steigung am Anfang, k₁ = f(t_n, y_n)
$k_2$: Steigung in der Mitte, k₂ = f(t_n + h/2, y_n + h/2 · k₁)
$k_3$: verbesserte Steigung in der Mitte, k₃ = f(t_n + h/2, y_n + h/2 · k₂)
$k_4$: Steigung am Ende, k₄ = f(t_n + h, y_n + h · k₃)

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren mittelt vier Steigungen pro Schritt und erreicht so die Konvergenzordnung 4.

Erklärung

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (kurz RK4) löst Anfangswertprobleme $y' = f(t, y)$ , $y(t_0) = y_0$ numerisch. Wie beim Euler-Verfahren geht man in Schritten der Breite $h$ vor, verwendet aber pro Schritt vier Steigungen:

\begin{aligned} k_1 &= f(t_n,\ y_n) \\ k_2 &= f\bigl(t_n + \tfrac{h}{2},\ y_n + \tfrac{h}{2}\,k_1\bigr) \\ k_3 &= f\bigl(t_n + \tfrac{h}{2},\ y_n + \tfrac{h}{2}\,k_2\bigr) \\ k_4 &= f\bigl(t_n + h,\ y_n + h\,k_3\bigr) \end{aligned}

Der Schritt verwendet ein gewichtetes Mittel mit den Gewichten $1, 2, 2, 1$ . Hängt $f$ nur von $t$ ab, sind $k_2 = k_3$ , und das Verfahren wird zur Simpsonregel.

Eigenschaften:

Konvergenzordnung 4: Halbiert man $h$ , sinkt der globale Fehler etwa auf ein Sechzehntel.
Explizit: Jedes $k_i$ ergibt sich aus bereits bekannten Werten.
Pro Schritt sind vier Auswertungen von $f$ nötig. Bei gleichem Aufwand ist RK4 meist viel genauer als das Euler-Verfahren.
Bei steifen Problemen braucht auch RK4 sehr kleine Schritte; dort sind implizite Verfahren besser.

Beispiele

$y' = y$ , $y(0) = 1$ , exakte Lösung $e^t$ . Für diese Gleichung multipliziert ein Schritt mit $1 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + \frac{h^4}{24}$ , den ersten Gliedern der Exponentialreihe. Mit $h = 0{,}5$ ist der Faktor $1{,}6484375$ , nach zwei Schritten

y_2 = 1{,}6484375^2 \approx 2{,}7173, \qquad e \approx 2{,}7183

Der Fehler ist etwa $0{,}00094$ . Das Euler-Verfahren mit derselben Zahl von acht Auswertungen ( $h = 0{,}125$ ) liefert $1{,}125^8 \approx 2{,}5658$ , also einen Fehler von $0{,}1525$ .

$y' = t + y$ , $y(0) = 1$ , ein Schritt mit $h = 0{,}5$ :

k_1 = 1, \quad k_2 = 0{,}25 + 1{,}25 = 1{,}5, \quad k_3 = 0{,}25 + 1{,}375 = 1{,}625, \quad k_4 = 0{,}5 + 1{,}8125 = 2{,}3125

y_1 = 1 + \frac{0{,}5}{6} \left( 1 + 3 + 3{,}25 + 2{,}3125 \right) = 1{,}796875

Exakt ist $y(0{,}5) = 2\,e^{0{,}5} - 1{,}5 \approx 1{,}7974$ . Der Fehler beträgt etwa $0{,}0006$ , beim Euler-Verfahren mit gleichem $h$ wäre es fast $0{,}3$ .

Typische Fehler

Die Gewichte vertauschen: Die mittleren Steigungen $k_2$ , $k_3$ zählen doppelt, nicht die äußeren.
In $k_2$ und $k_3$ den vollen statt den halben Schritt verwenden.
In $k_3$ wieder $k_1$ statt $k_2$ einsetzen.
Durch $4$ statt durch $6$ teilen. Die Gewichte $1 + 2 + 2 + 1$ ergeben $6$ .

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