Implizites Euler-Verfahren

Studium

y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1}), \qquad t_{n+1} = t_n + h

Voraussetzung: $y' = f(t, y),$ $y(t_0) = y_0,$ $h > 0$ $(Schrittgleichung eindeutig lösbar, z.B. bei$ $hL < 1$ $mit Lipschitz-Konstante$ $L$ $)$

$y_n$: Näherung für die Lösung y(t_n)
$t_n$: n-ter Zeitpunkt, t_n = t_0 + n · h
$h$: Schrittweite
$f(t, y)$: rechte Seite der Differentialgleichung y′ = f(t, y)

Das implizite Euler-Verfahren nimmt die Steigung am neuen Punkt; dafür muss man in jedem Schritt eine Gleichung lösen.

Erklärung

Das implizite Euler-Verfahren (auch Rückwärts-Euler) löst Anfangswertprobleme $y' = f(t, y)$ schrittweise wie das explizite Euler-Verfahren. Die Steigung wird aber am neuen Punkt $(t_{n+1}, y_{n+1})$ ausgewertet. Da $y_{n+1}$ auf beiden Seiten steht, muss man in jedem Schritt eine Gleichung lösen. Bei nichtlinearem $f$ geschieht das meist mit dem Newton-Verfahren, Startwert ist $y_n$ .

Eigenschaften:

Konvergenzordnung 1, wie beim expliziten Euler-Verfahren.
A-stabil: Für $y' = \lambda y$ mit $\lambda < 0$ ist $y_{n+1} = \frac{y_n}{1 - h\lambda}$ . Der Faktor liegt für jede Schrittweite zwischen $0$ und $1$ . Die Näherung klingt also immer ab, wie die echte Lösung.
Pro Schritt teurer als explizite Verfahren, weil eine Gleichung gelöst werden muss.

Diese Stabilität macht das Verfahren wertvoll für steife Differentialgleichungen. Das sind Gleichungen, in denen sehr schnell und sehr langsam abklingende Anteile zusammenkommen, etwa in der chemischen Kinetik oder bei elektrischen Schaltungen. Explizite Verfahren brauchen dort winzige Schritte, nur um stabil zu bleiben.

Beispiele

$y' = -2y$ , $y(0) = 1$ , exakte Lösung $e^{-2t}$ . Jeder Schritt teilt durch $1 + 2h$ . Mit $h = 1{,}5$ ist der Faktor $\frac{1}{4}$ , die Näherung fällt monoton: $1;\ 0{,}25;\ 0{,}0625;\ \ldots$ Das explizite Verfahren springt bei dieser Schrittweite zwischen wachsenden positiven und negativen Werten.

Mit $h = 0{,}1$ ist $y_1 = \frac{1}{1{,}2} \approx 0{,}8333$ , nach zehn Schritten $y_{10} = 1{,}2^{-10} \approx 0{,}1615$ . Exakt ist $e^{-2} \approx 0{,}1353$ . Der Fehler ist ähnlich groß wie beim expliziten Verfahren, nur mit anderem Vorzeichen.

$y' = -y^2$ , $y(0) = 1$ , ein Schritt mit $h = 0{,}5$ . Die Schrittgleichung lautet

y_1 = 1 - 0{,}5\,y_1^2 \quad\Leftrightarrow\quad y_1^2 + 2y_1 - 2 = 0

Die positive Lösung ist $y_1 = \sqrt{3} - 1 \approx 0{,}7321$ . Exakt ist $y(0{,}5) = \frac{1}{1{,}5} \approx 0{,}6667$ ; das explizite Verfahren liefert $1 - 0{,}5 = 0{,}5$ .

Typische Fehler

Die Steigung am alten Punkt auswerten. Das ist das explizite Euler-Verfahren.
Bei nichtlinearen Gleichungen die falsche Lösung der Schrittgleichung wählen. Gesucht ist die Lösung nahe $y_n$ .
Stabilität mit Genauigkeit verwechseln: Auch das implizite Verfahren hat nur Ordnung 1. Große Schritte bleiben stabil, sind aber ungenau.
Bei $t$ -abhängigem $f$ den alten Zeitpunkt $t_n$ statt $t_{n+1}$ einsetzen.

Implizites Euler-Verfahren