Explizites Euler-Verfahren

Studium

y_{k+1} = y_k + h \cdot f(t_k, y_k), \qquad t_{k+1} = t_k + h

Voraussetzung: $y'(t) = f(t, y(t)),$ $y(t_0) = y_0,$ $h > 0$

$y_k$: Näherung für die Lösung y(t_k)
$t_k$: k-ter Zeitpunkt, t_k = t_0 + k · h
$h$: Schrittweite
$f(t, y)$: rechte Seite der Differentialgleichung y′ = f(t, y)
$y_0$: Anfangswert zur Zeit t_0

Das explizite Euler-Verfahren löst y′ = f(t, y) näherungsweise, indem es in jedem Schritt der aktuellen Steigung folgt.

Erklärung

Das explizite Euler-Verfahren ist das einfachste Verfahren für Anfangswertprobleme $y' = f(t, y)$ , $y(t_0) = y_0$ . Ausgehend vom Anfangswert geht man in Schritten der Breite $h$ vorwärts. In jedem Schritt berechnet man die Steigung $f(t_k, y_k)$ am aktuellen Punkt und folgt dieser Geraden bis $t_{k+1}$ . Die Näherungslösung ist ein Streckenzug, daher der Name Polygonzugverfahren.

Das Verfahren entspricht dem Abbruch der Taylorreihe nach dem linearen Glied: $y(t + h) \approx y(t) + h \, y'(t)$ .

Eigenschaften:

Konvergenzordnung 1: Der globale Fehler an einem festen Zeitpunkt ist proportional zu $h$ . Halbiert man $h$ , halbiert sich der Fehler ungefähr.
Explizit: $y_{k+1}$ ergibt sich direkt aus bekannten Werten, ohne Gleichung zu lösen.
Stabilität: Bei abklingenden Lösungen muss $h$ klein genug sein. Für $y' = \lambda y$ mit $\lambda < 0$ ist $|1 + h\lambda| < 1$ nötig, also $h < \frac{2}{|\lambda|}$ . Sonst schwingt die Näherung mit wachsendem Betrag.

Für $f$ muss eine Lipschitz-Bedingung in $y$ gelten, damit die Lösung eindeutig ist und das Verfahren konvergiert.

Beispiele

$y' = y$ , $y(0) = 1$ mit der exakten Lösung $y = e^t$ . Jeder Schritt multipliziert mit $1 + h$ . Mit $h = 0{,}25$ erreicht man $t = 1$ nach vier Schritten:

y_4 = 1{,}25^4 \approx 2{,}4414, \qquad e \approx 2{,}7183

Mit $h = 0{,}1$ und zehn Schritten ist $y_{10} = 1{,}1^{10} \approx 2{,}5937$ . Der Fehler sinkt von $0{,}2769$ auf $0{,}1245$ , ungefähr proportional zu $h$ .

$y' = -2y$ , $y(0) = 1$ mit der Lösung $y = e^{-2t}$ . Mit $h = 0{,}1$ ist $y_1 = 1 + 0{,}1 \cdot (-2) = 0{,}8$ und nach zehn Schritten $y_{10} = 0{,}8^{10} \approx 0{,}1074$ ; exakt ist $e^{-2} \approx 0{,}1353$ . Mit $h = 1{,}5$ dagegen ist $1 + h\lambda = -2$ , und die Näherung springt $1, -2, 4, -8, 16, \ldots$ , obwohl die echte Lösung abklingt.

$y' = t + y$ , $y(0) = 1$ mit $h = 0{,}5$ :

y_1 = 1 + 0{,}5 \cdot (0 + 1) = 1{,}5, \qquad y_2 = 1{,}5 + 0{,}5 \cdot (0{,}5 + 1{,}5) = 2{,}5

Die exakte Lösung ist $y = 2e^t - t - 1$ , also $y(1) = 2e - 2 \approx 3{,}4366$ .

Typische Fehler

Die Steigung am neuen statt am alten Punkt auswerten. Das wäre das implizite Euler-Verfahren.
Bei $f(t, y)$ die Zeit $t_k$ nicht mitführen und z.B. immer $t_0$ einsetzen.
Eine zu große Schrittweite wählen. Neben großem Fehler droht bei abklingenden Lösungen Instabilität.
Die Anzahl der Schritte falsch bestimmen: Von $t_0$ bis $T$ sind es $\frac{T - t_0}{h}$ Schritte.

Explizites Euler-Verfahren