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Simpsonregel

Simpsonregel

Studium
∫abf(x) dx≈b−a6(f(a)+4f ⁣(a+b2)+f(b))\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{b - a}{6} \left( f(a) + 4 f\!\left( \frac{a + b}{2} \right) + f(b) \right)

Voraussetzung: ff auf [a,b][a, b] integrierbar und an den Stützstellen definiert

a,ba, b
untere und obere Integrationsgrenze
ff
Funktion, die integriert wird
a+b2\frac{a + b}{2}
Intervallmitte

Die Simpsonregel ersetzt die Funktion durch eine Parabel durch Anfang, Mitte und Ende und integriert diese exakt.

Erklärung

Die Simpsonregel legt durch die drei Punkte bei aa, a+b2\frac{a + b}{2} und bb eine Parabel und integriert diese exakt. Die Gewichte 1:4:11 : 4 : 1 entstehen genau aus dieser Parabel. In der Schule ist sie auch als Keplersche Fassregel bekannt.

Obwohl nur eine Parabel verwendet wird, ist die Regel für alle Polynome bis zum Grad 3 exakt. Ist ff viermal stetig differenzierbar, gilt für den Fehler

∫abf(x) dx−S=−(b−a)52880 f(4)(ξ)\int_a^b f(x)\,dx - S = -\frac{(b - a)^5}{2880} \, f^{(4)}(\xi)

für ein ξ∈[a,b]\xi \in [a, b].

Für größere Intervalle teilt man [a,b][a, b] in eine gerade Anzahl nn von Teilintervallen der Breite h=b−anh = \frac{b - a}{n} und wendet die Regel auf je zwei benachbarte an (summierte Simpsonregel):

∫abf(x) dx≈h3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+…+4f(xn−1)+f(xn))\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3} \left( f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + 4 f(x_3) + \ldots + 4 f(x_{n-1}) + f(x_n) \right)

Für den Fehler gilt, wenn ff viermal stetig differenzierbar ist,

∫abf(x) dx−S(h)=−(b−a) h4180 f(4)(ξ)\int_a^b f(x)\,dx - S(h) = -\frac{(b - a) \, h^4}{180} \, f^{(4)}(\xi)

für ein ξ∈[a,b]\xi \in [a, b]. Er ist von der Ordnung h4h^4: Halbiert man hh, wird er etwa 16-mal kleiner. Die Simpsonregel ist zugleich der gewichtete Mittelwert 2M+T3\frac{2M + T}{3} aus Mittelpunkt- und Trapezregel, deren Fehler sich dabei weitgehend aufheben.

Beispiele

∫121x dx=ln⁡2\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 mit einer einzigen Parabel:

S=16(1+41,5+12)=2536≈0,6944S = \frac{1}{6} \left( 1 + \frac{4}{1{,}5} + \frac{1}{2} \right) = \frac{25}{36} \approx 0{,}6944

Der Fehler ist nur etwa 0,00130{,}0013. Die Trapezregel mit derselben Anzahl Stützstellen liefert 0,70830{,}7083.

∫0πsin⁡x dx=2\int_0^\pi \sin x\,dx = 2. Mit einer Parabel ergibt sich π6⋅4=2π3≈2,0944\frac{\pi}{6} \cdot 4 = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944. Summiert mit n=4n = 4 und h=π4h = \frac{\pi}{4}:

S=π12(0+4sin⁡π4+2sin⁡π2+4sin⁡3π4+0)≈2,0046S = \frac{\pi}{12} \left( 0 + 4 \sin\tfrac{\pi}{4} + 2 \sin\tfrac{\pi}{2} + 4 \sin\tfrac{3\pi}{4} + 0 \right) \approx 2{,}0046

Typische Fehler

  • In der einfachen Regel b−a3\frac{b - a}{3} statt b−a6\frac{b - a}{6} schreiben. Den Faktor h3\frac{h}{3} hat nur die summierte Form, dort ist hh die halbe Breite eines Parabelstücks.
  • Die summierte Regel mit ungeradem nn anwenden.
  • Die Gewichte 1,4,2,4,…,4,11, 4, 2, 4, \ldots, 4, 1 falsch verteilen, z.B. an den Rändern 22 statt 11.

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