Fehler der Trapezregel

Erklärung

Die summierte Trapezregel $T_n$ nähert $\int_a^b f(x)\,dx$ mit $n$ Trapezen der Breite $h$. Ist $f$ zweimal stetig differenzierbar, gibt es ein $\xi \in [a, b]$ mit

Weil man $\xi$ nicht kennt, schätzt man $|f''(\xi)|$ durch das Maximum von $|f''|$ auf $[a, b]$ ab. Daraus folgt die Schranke oben.

Folgerungen:

• Ordnung 2: Halbiert man $h$, wird der Fehler etwa viermal kleiner.
• Für lineare Funktionen ist $f'' = 0$, die Trapezregel ist dann exakt.
• Aus der Schranke bestimmt man, wie viele Teilintervalle für eine gewünschte Genauigkeit $\varepsilon$ reichen: $h \leq \sqrt{\frac{12\,\varepsilon}{(b - a) \max |f''|}}$.
• Für glatte $f$ gilt genauer $\int_a^b f\,dx - T_n \approx -\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b) - f'(a)\bigr)$. Diese Näherung ist oft viel schärfer als die Schranke.

Beispiele

$\int_0^1 e^x\,dx$ soll mit einem Fehler von höchstens $10^{-4}$ berechnet werden. Es ist $f'' = e^x \leq e$ auf $[0, 1]$, also muss gelten

Wegen $n = \frac{1}{h}$ braucht man mindestens $n = 48$ Teilintervalle. Mit $n = 47$ wäre die Schranke knapp über $10^{-4}$.

$\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$ mit $n = 4$, also $h = \frac{\pi}{4}$:

Der tatsächliche Fehler ist $0{,}1039$. Die Schranke liefert mit $\max|f''| = 1$ den Wert $\frac{\pi \cdot (\pi/4)^2}{12} = \frac{\pi^3}{192} \approx 0{,}1615$. Die asymptotische Formel $-\frac{h^2}{12}(\cos\pi - \cos 0) = \frac{\pi^2}{96} \approx 0{,}1028$ trifft den Fehler fast genau. Mit $n = 8$ sinkt der Fehler auf etwa $0{,}0258$, also ungefähr auf ein Viertel.

Typische Fehler

• $h$ und $n$ verwechseln: Die Schranke enthält $h^2 = \left(\frac{b - a}{n}\right)^2$, nicht $n^2$.
• Das Maximum von $|f''|$ nur an den Randpunkten suchen. Es kann auch im Inneren liegen.
• Die Schranke für den tatsächlichen Fehler halten. Sie ist eine obere Grenze, der echte Fehler kann deutlich kleiner sein.
• Bei der Bestimmung von $n$ abrunden. Man muss auf die nächste ganze Zahl aufrunden.