Trapezregel

Erklärung

Die Trapezregel berechnet ein bestimmtes Integral näherungsweise, wenn keine Stammfunktion bekannt ist oder $f$ nur an einzelnen Stellen gegeben ist. Man teilt $[a, b]$ in $n$ gleich breite Teilintervalle der Breite $h$ und ersetzt den Graphen in jedem Teilintervall durch die Sehne. Die Fläche darunter ist ein Trapez mit dem Inhalt $\frac{h}{2}\left(f(x_{k-1}) + f(x_k)\right)$.

Addiert man alle Trapeze, kommen die inneren Stützstellen zweimal vor, deshalb der Faktor $2$. Für $n = 1$ ergibt sich die einfache Trapezregel $\frac{b - a}{2}\left(f(a) + f(b)\right)$.

Ist $f$ zweimal stetig differenzierbar, gilt für den Fehler

für ein $\xi \in [a, b]$. Halbiert man $h$, wird der Fehler etwa viermal kleiner (Ordnung 2). Lineare Funktionen werden exakt integriert. Bei konvexen Funktionen ($f'' > 0$) liegt die Sehne über dem Graphen, die Trapezregel überschätzt dann das Integral.

Beispiele

$\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$ mit $n = 4$, also $h = 0{,}25$:

Der Fehler ist $0{,}34375 - \frac{1}{3} = \frac{1}{96} \approx 0{,}0104$. Wegen $f'' = 2$ stimmt das genau mit der Fehlerformel $\frac{1 \cdot 0{,}25^2}{12} \cdot 2$ überein.

$\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 \approx 0{,}6931$. Mit $n = 2$, $h = 0{,}5$:

Mit $n = 4$ ergibt sich $0{,}6970$. Der Fehler sinkt von etwa $0{,}0152$ auf $0{,}0039$, also ungefähr auf ein Viertel.

Typische Fehler

• Die inneren Funktionswerte nicht verdoppeln oder die Randwerte verdoppeln.
• $h$ und $n$ verwechseln: Bei $n$ Teilintervallen gibt es $n + 1$ Stützstellen.
• Den Faktor $\frac{1}{2}$ vor der Klammer vergessen.
• Bei unstetigen oder stark schwankenden Funktionen der Näherung trauen, ohne $n$ zu erhöhen und die Ergebnisse zu vergleichen.