Mittelpunktregel

Studium

\int_a^b f(x)\,dx \approx h \sum_{k=1}^{n} f\!\left( a + \left(k - \tfrac{1}{2}\right) h \right)

Voraussetzung: $h = \frac{b - a}{n},$ $n \in \mathbb{N},$ $n \geq 1$

$a, b$: untere und obere Integrationsgrenze
$f$: Funktion, die integriert wird
$n$: Anzahl der Teilintervalle (Rechtecke)
$h$: Schrittweite, Breite eines Rechtecks
$k$: Nummer des Teilintervalls

Die Mittelpunktregel nähert ein Integral durch Rechtecke an, deren Höhe der Funktionswert in der Mitte jedes Teilintervalls ist.

Erklärung

Die Mittelpunktregel (auch Rechteckregel) teilt $[a, b]$ in $n$ gleich breite Teilintervalle und ersetzt die Fläche über jedem Teilintervall durch ein Rechteck. Seine Höhe ist der Funktionswert in der Mitte des Teilintervalls, also an der Stelle $a + \left(k - \frac{1}{2}\right) h$ .

Ist $f$ zweimal stetig differenzierbar, gilt für den Fehler

\int_a^b f(x)\,dx - M(h) = \frac{(b - a) \, h^2}{24} \, f''(\xi)

für ein $\xi \in [a, b]$ . Das ist ungefähr halb so groß wie bei der Trapezregel und hat das umgekehrte Vorzeichen: Bei konvexen Funktionen unterschätzt die Mittelpunktregel, die Trapezregel überschätzt. Daher liegt der wahre Wert oft zwischen beiden, und die Kombination $\frac{2M + T}{3}$ ergibt die Simpsonregel.

Lineare Funktionen werden exakt integriert, obwohl nur Rechtecke verwendet werden. Ein Vorteil gegenüber der Trapezregel: Die Randpunkte werden nicht ausgewertet. Deshalb funktioniert die Regel auch, wenn $f$ am Rand nicht definiert ist, etwa bei $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ (dort allerdings mit schlechterer Genauigkeit).

Nicht zu verwechseln ist die Mittelpunktregel mit Ober- und Untersummen oder mit Rechtecksummen, die den linken oder rechten Rand jedes Teilintervalls verwenden. Diese haben nur einen Fehler der Ordnung $h$ .

Beispiele

$\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}$ mit $n = 4$ , $h = 0{,}25$ . Die Mittelpunkte sind $0{,}125$ , $0{,}375$ , $0{,}625$ und $0{,}875$ :

M = 0{,}25 \cdot \left( 0{,}125^2 + 0{,}375^2 + 0{,}625^2 + 0{,}875^2 \right) = 0{,}328125

Der Fehler ist $\frac{1}{3} - 0{,}328125 = \frac{1}{192} \approx 0{,}0052$ , genau halb so groß wie bei der Trapezregel mit denselben Teilintervallen ( $\frac{1}{96}$ ).

$\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2$ mit $n = 2$ , $h = 0{,}5$ und den Mittelpunkten $1{,}25$ und $1{,}75$ :

M = 0{,}5 \cdot \left( \frac{1}{1{,}25} + \frac{1}{1{,}75} \right) = \frac{48}{70} \approx 0{,}6857

Der Fehler ist etwa $0{,}0074$ .

Typische Fehler

Die Funktion am linken oder rechten Rand statt in der Mitte auswerten. Dann sinkt die Genauigkeit deutlich.
Die Mittelpunkte falsch berechnen: Der erste liegt bei $a + \frac{h}{2}$ , nicht bei $a + h$ .
Mit $h$ multiplizieren vergessen und nur die Funktionswerte addieren.

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