Lagrange-Interpolation

Studium

p(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \, L_i(x), \qquad L_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}

Voraussetzung: $x_0, \ldots, x_n$ $paarweise verschieden$

$p(x)$: Interpolationspolynom vom Grad höchstens n
$x_i, y_i$: Stützstellen und zugehörige Stützwerte
$L_i(x)$: Lagrange-Basispolynom, 1 bei x_i und 0 bei allen anderen Stützstellen
$n$: Anzahl der Stützstellen minus 1

Die Lagrange-Formel liefert das eindeutige Polynom vom Grad höchstens n durch n + 1 Punkte mit verschiedenen x-Werten.

Erklärung

Gegeben sind $n + 1$ Punkte $(x_i \mid y_i)$ mit paarweise verschiedenen $x_i$ . Dann gibt es genau ein Polynom $p$ vom Grad höchstens $n$ , das durch alle Punkte geht. Die Lagrange-Form schreibt es direkt hin.

Der Trick sind die Basispolynome $L_i$ : Jedes $L_i$ hat an der Stelle $x_i$ den Wert $1$ und an allen anderen Stützstellen den Wert $0$ . Der Zähler sorgt für die Nullstellen, der Nenner normiert auf $1$ . Multipliziert man mit $y_i$ und addiert, trifft $p$ jeden Punkt.

Für die Abweichung von einer $(n + 1)$ -mal stetig differenzierbaren Funktion $f$ mit $y_i = f(x_i)$ gilt

f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n + 1)!} \prod_{j=0}^{n} (x - x_j)

für ein $\xi$ im kleinsten Intervall, das $x$ und alle Stützstellen enthält.

Die Lagrange-Form eignet sich gut für Theorie und Herleitungen, z.B. von Quadraturformeln wie der Simpsonregel. Zum Rechnen mit vielen oder neu hinzukommenden Punkten ist die Newton-Form oder die baryzentrische Form günstiger. Bei vielen äquidistanten Stützstellen schwingt das Polynom am Rand stark (Runge-Phänomen); dann sind Tschebyschow-Stützstellen oder Splines besser.

Beispiele

Polynom durch $(0 \mid 1)$ , $(1 \mid 3)$ und $(2 \mid 7)$ :

\begin{aligned} L_0(x) &= \frac{(x - 1)(x - 2)}{(0 - 1)(0 - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2} \\ L_1(x) &= \frac{(x - 0)(x - 2)}{(1 - 0)(1 - 2)} = -x(x - 2) \\ L_2(x) &= \frac{(x - 0)(x - 1)}{(2 - 0)(2 - 1)} = \frac{x(x - 1)}{2} \end{aligned}

p(x) = 1 \cdot L_0(x) + 3 \cdot L_1(x) + 7 \cdot L_2(x) = x^2 + x + 1

Zwischenwert: $p(1{,}5) = 4{,}75$ .

$\sqrt{5}$ aus den Werten $\sqrt{4} = 2$ , $\sqrt{9} = 3$ und $\sqrt{16} = 4$ :

p(5) = 2 \cdot \frac{(5 - 9)(5 - 16)}{(4 - 9)(4 - 16)} + 3 \cdot \frac{(5 - 4)(5 - 16)}{(9 - 4)(9 - 16)} + 4 \cdot \frac{(5 - 4)(5 - 9)}{(16 - 4)(16 - 9)} \approx 2{,}2190

Der genaue Wert ist $\sqrt{5} \approx 2{,}2361$ . Die Stützstellen liegen weit auseinander, deshalb ist die Näherung grob.

Typische Fehler

Im Produkt den Faktor mit $j = i$ nicht weglassen. Er wäre $\frac{x - x_i}{x_i - x_i}$ und damit eine Division durch $0$ .
Im Nenner $x - x_j$ statt $x_i - x_j$ schreiben.
Annehmen, mehr Stützstellen verbesserten die Näherung immer. Bei äquidistanten Stützstellen kann der Fehler am Rand wachsen.
Das Polynom außerhalb der Stützstellen (Extrapolation) für zuverlässig halten.

Lagrange-Interpolation