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Sekantenverfahren

Sekantenverfahren

Studium
xn+1=xn−f(xn)⋅xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}

Voraussetzung: f(xn)≠f(xn−1)f(x_n) \neq f(x_{n-1})

xn,xn−1x_n, x_{n-1}
die beiden letzten Näherungen
xn+1x_{n+1}
neue Näherung, Nullstelle der Sekante
ff
Funktion, deren Nullstelle gesucht ist

Das Sekantenverfahren ersetzt beim Newton-Verfahren die Tangente durch die Sekante durch die letzten beiden Näherungen.

Erklärung

Das Sekantenverfahren sucht Nullstellen wie das Newton-Verfahren, braucht aber keine Ableitung. Statt der Tangente legt man die Sekante durch die Punkte (xn−1∣f(xn−1))(x_{n-1} \mid f(x_{n-1})) und (xn∣f(xn))(x_n \mid f(x_n)) und nimmt deren Nullstelle als neue Näherung. Der Bruch f(xn)−f(xn−1)xn−xn−1\frac{f(x_n) - f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}} ist die Sekantensteigung, also ein Differenzenquotient als Ersatz für f′(xn)f'(x_n).

Man braucht zwei Startwerte x0x_0 und x1x_1. Anders als bei der Regula falsi müssen sie die Nullstelle nicht einschließen, und es werden immer die beiden letzten Näherungen verwendet.

Nahe einer einfachen Nullstelle konvergiert das Verfahren superlinear mit der Ordnung 1+52≈1,618\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618. Das ist langsamer als Newton pro Schritt, aber jeder Schritt braucht nur eine neue Funktionsauswertung. Ohne Einschließung kann das Verfahren bei schlechten Startwerten divergieren. Sind f(xn)f(x_n) und f(xn−1)f(x_{n-1}) fast gleich, entsteht Auslöschung im Nenner.

Beispiele

Nullstelle von f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 mit x0=1x_0 = 1, x1=2x_1 = 2, also f(x0)=−1f(x_0) = -1, f(x1)=2f(x_1) = 2:

x2=2−2⋅2−12−(−1)=43,f(x2)=−29x3=43−(−29)⋅4/3−2−2/9−2=75=1,4,f(x3)=−0,04x4=1,4−(−0,04)⋅1,4−4/3−0,04+2/9=5841≈1,414634\begin{aligned} x_2 &= 2 - 2 \cdot \frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{4}{3}, & f(x_2) &= -\frac{2}{9} \\ x_3 &= \frac{4}{3} - \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot \frac{4/3 - 2}{-2/9 - 2} = \frac{7}{5} = 1{,}4, & f(x_3) &= -0{,}04 \\ x_4 &= 1{,}4 - (-0{,}04) \cdot \frac{1{,}4 - 4/3}{-0{,}04 + 2/9} = \frac{58}{41} \approx 1{,}414634 \end{aligned}

Der genaue Wert ist 2≈1,414214\sqrt{2} \approx 1{,}414214.

Ist ff linear, ist die Sekante der Graph selbst, und schon der erste Schritt liefert die exakte Nullstelle.

Typische Fehler

  • Die Startwerte für die Rechnung falsch zuordnen: Im Zähler steht xn−xn−1x_n - x_{n-1}, im Nenner f(xn)−f(xn−1)f(x_n) - f(x_{n-1}), in derselben Reihenfolge.
  • Wie bei der Regula falsi immer einen Punkt mit anderem Vorzeichen behalten. Beim Sekantenverfahren werden stur die zwei letzten Punkte verwendet.
  • Das Verfahren fortsetzen, wenn f(xn)≈f(xn−1)f(x_n) \approx f(x_{n-1}) ist. Dann wird der Schritt riesig oder durch 00 geteilt.

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