Regula falsi

Erklärung

Die Regula falsi verbindet die Ideen von Bisektion und Sekantenverfahren. Wie bei der Bisektion startet man mit einem Intervall $[a, b]$, an dessen Enden $f$ verschiedene Vorzeichen hat. Statt den Mittelpunkt zu nehmen, legt man die Sekante durch $(a \mid f(a))$ und $(b \mid f(b))$ und berechnet ihre Nullstelle $c$. Dann behält man das Teilintervall, in dem der Vorzeichenwechsel liegt.

Die Formel für $c$ ist dieselbe wie beim Sekantenverfahren, nur in symmetrischer Form geschrieben: $c = a - f(a) \cdot \frac{b - a}{f(b) - f(a)}$. Der Unterschied liegt in der Auswahl der Punkte. Die Nullstelle bleibt immer eingeschlossen, deshalb konvergiert das Verfahren bei stetigem $f$ garantiert.

Der Nachteil: Ist $f$ im Intervall konvex oder konkav, bleibt ein Endpunkt oft dauerhaft liegen. Die Intervallbreite geht dann nicht gegen $0$, und die Konvergenz ist nur linear, teils langsamer als die Bisektion. Varianten wie das Illinois-Verfahren halbieren in diesem Fall den Funktionswert am festhängenden Ende und beschleunigen so die Konvergenz.

Beispiele

Nullstelle von $f(x) = x^2 - 2$ auf $[1, 2]$ mit $f(1) = -1$, $f(2) = 2$:

Die ersten beiden Schritte stimmen mit dem Sekantenverfahren überein. Im dritten Schritt bleibt der rechte Endpunkt $b = 2$ stehen, weil $f$ konvex ist. Das Sekantenverfahren liefert hier schon $1{,}414634$, die Regula falsi nur $1{,}4118$, ist dafür aber abgesichert.

Typische Fehler

• Die Regula falsi mit dem Sekantenverfahren gleichsetzen. Die Formel ist gleich, die Wahl der beiden Punkte nicht.
• Im Zähler $a \cdot f(a) - b \cdot f(b)$ schreiben. Richtig sind die „über Kreuz“ genommenen Werte $a \cdot f(b) - b \cdot f(a)$.
• Als Abbruchkriterium die Intervallbreite verwenden. Weil ein Endpunkt hängen bleiben kann, wird sie oft nicht klein. Besser $|f(c)|$ oder die Änderung von $c$ prüfen.