Eulerscher Polyedersatz

Oberstufe

E - K + F = 2

Voraussetzung: $konvexes Polyeder (allgemein: Polyeder ohne Löcher)$

$E$: Anzahl der Ecken
$K$: Anzahl der Kanten
$F$: Anzahl der Flächen

Bei jedem konvexen Polyeder ergibt Ecken minus Kanten plus Flächen immer 2.

Erklärung

Ein Polyeder ist ein Körper, der nur von ebenen Vielecken begrenzt wird, z.B. Würfel, Pyramide oder Prisma. Zählt man seine Ecken $E$ , Kanten $K$ und Flächen $F$ , so gilt immer

E - K + F = 2,

solange der Körper konvex ist, also keine Dellen hat. Allgemeiner gilt die Formel für alle Polyeder ohne Löcher (ohne „Tunnel“ hindurch).

Man kann den Satz nutzen, um eine fehlende Anzahl zu berechnen oder um eine Zählung zu kontrollieren.

Idee der Begründung: Man nimmt eine Fläche heraus und drückt den Rest flach in die Ebene. Dann entfernt man nach und nach Kanten. Bei jedem Schritt ändert sich $E - K + F$ nicht. Am Ende bleibt ein einzelnes Dreieck mit $3 - 3 + 1 = 1$ übrig; mit der herausgenommenen Fläche ergibt das $2$ .

Beispiele

Körper	$E$	$K$	$F$	$E - K + F$
Würfel	$8$	$12$	$6$	$2$
Tetraeder	$4$	$6$	$4$	$2$
Oktaeder	$6$	$12$	$8$	$2$
Dodekaeder	$20$	$30$	$12$	$2$
Ikosaeder	$12$	$30$	$20$	$2$

Prisma mit $n$ -eckiger Grundfläche: $E = 2n$ , $K = 3n$ , $F = n + 2$ . Es ergibt sich $2n - 3n + n + 2 = 2$ .

Fußball: Er besteht aus $12$ Fünfecken und $20$ Sechsecken, also $F = 32$ . Jede Kante gehört zu zwei Flächen, daher ist

K = \frac{12 \cdot 5 + 20 \cdot 6}{2} = 90

Mit dem Polyedersatz folgt $E = 2 + K - F = 2 + 90 - 32 = 60$ . Kontrolle: An jeder Ecke stoßen drei Flächen zusammen, also $E = \frac{180}{3} = 60$ .

Typische Fehler

Kanten doppelt zählen. Wer bei jeder Fläche die Seiten zählt und addiert, zählt jede Kante zweimal. Man muss durch $2$ teilen.
Vorzeichen vertauschen. Es heißt Ecken minus Kanten plus Flächen. $E + K - F$ ergibt beim Würfel $14$ , nicht $2$ .
Körper mit Loch. Bei einem Rahmen mit einem Tunnel, etwa aus $16$ Ecken, $32$ Kanten und $16$ Flächen, gilt $E - K + F = 0$ . Der Satz gilt nur für Polyeder ohne Löcher.

Eulerscher Polyedersatz